10 Exercices sur les Nombres Complexes
2ème BAC Sciences Physiques
Exercice 1 : Forme algébrique
Mettre sous forme algébrique le nombre complexe : \( z = \frac{1 + 2i}{3 – i} \)
Solution :
- Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué \( 3 + i \) :
- \( z = \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 – i)(3 + i)} = \frac{3 + i + 6i + 2i^2}{9 – i^2} \)
- Simplifier : \( z = \frac{1 + 7i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i \)
Exercice 2 : Module et argument
Calculer le module et un argument de \( z = 1 – i\sqrt{3} \)
Solution :
- Module : \( |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = 2 \)
- Argument : \( \theta = -\frac{\pi}{3} \) (4ème quadrant)
Exercice 3 : Forme exponentielle
Mettre sous forme exponentielle : \( z = -2 + 2i \)
Solution :
- Module : \( |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} \)
- Argument : \( \theta = \frac{3\pi}{4} \) (2ème quadrant)
- Forme exponentielle : \( z = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}} \)
Exercice 4 : Équation complexe
Résoudre dans ℂ : \( z^2 – 4z + 5 = 0 \)
Solution :
- Discriminant : \( Δ = (-4)^2 – 4×1×5 = -4 \)
- Solutions : \( z = \frac{4 \pm i\sqrt{4}}{2} = 2 \pm i \)
Exercice 5 : Racines cubiques
Calculer les racines cubiques de \( -8i \)
Solution :
- Forme exponentielle : \( -8i = 8e^{i\frac{3\pi}{2}} \)
- Racines : \( z_k = 2e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3})} \) pour \( k = 0,1,2 \)
- Solutions : \( 2i \), \( -\sqrt{3} – i \), \( \sqrt{3} – i \)
Exercice 6 : Transformation géométrique
Soit \( f \) la transformation qui au point \( M(z) \) associe \( M'(z’) \) avec \( z’ = (1+i)z + 2 – i \). Déterminer la nature de \( f \).
Solution :
- \( 1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4} \) donc similitude directe
- Rapport : \( \sqrt{2} \), angle : \( \pi/4 \)
- Centre : point fixe \( z = (1+i)z + 2 – i \) ⇒ \( z = \frac{i-2}{i} = 1 + 2i \)
Exercice 7 : Lieu géométrique
Déterminer le lieu des points \( M(z) \) tels que \( |z – 1| = |z – i| \)
Solution :
- Équation : distance à (1,0) = distance à (0,1)
- Médiatrice du segment [(1,0), (0,1)]
- Droite d’équation \( y = x \)
Exercice 8 : Argument et interprétation
Déterminer \( \arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right) \) pour \( z \) imaginaire pur
Solution :
- Poser \( z = iy \) avec \( y ∈ ℝ \)
- \( \frac{iy-1}{iy+1} \) a pour argument \( \pi – 2\arctan(y) \)
- Interprétation géométrique : angle entre les vecteurs (1,y) et (-1,y)
Exercice 9 : Suite complexe
Soit \( z_0 = 1 \) et \( z_{n+1} = \frac{z_n + i}{z_n – i} \). Calculer \( z_{2023} \)
Solution :
- Calculer les premiers termes : \( z_1 = -i \), \( z_2 = -1 \), \( z_3 = i \), \( z_4 = 1 \), …
- La suite est périodique de période 4
- \( 2023 = 4×505 + 3 \) donc \( z_{2023} = z_3 = i \)
Exercice 10 : Problème synthèse
Résoudre dans ℂ : \( z^4 – 2z^2 + 4 = 0 \)
Solution :
- Poser \( Z = z^2 \) : \( Z^2 – 2Z + 4 = 0 \)
- Solutions en Z : \( Z = 1 \pm i\sqrt{3} = 2e^{\pm i\pi/3} \)
- Solutions en z : \( \sqrt{2}e^{\pm i\pi/6} \) et \( \sqrt{2}e^{\pm i5\pi/6} \)
- Forme algébrique : \( \pm\left(\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) et \( \pm\left(-\frac{\sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
