Solution :

1. Multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué \( 3 + i \) :
2. \( z = \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 – i)(3 + i)} = \frac{3 + i + 6i + 2i^2}{9 – i^2} = \frac{3 + 7i – 2}{9 + 1} = \frac{1 + 7i}{10} \)
3. Donc : \( z = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i \)

Solution :

1. Module : \( |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \)
2. Argument : \( z \) est dans le quatrième quadrant.
   \( \cos \theta = \frac{1}{2}, \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = -\frac{\pi}{3} \)
3. Donc : \( z = 2 e^{-i\pi/3} \)

Solution :

1. Module : \( |z| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
2. Argument : \( z \) est dans le deuxième quadrant.
   \( \tan \theta = \frac{2}{-2} = -1 \Rightarrow \theta = \frac{3\pi}{4} \)
3. Forme exponentielle : \( z = 2\sqrt{2} \, e^{i\frac{3\pi}{4}} \)

Solution :

1. Discriminant : \( \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 – 20 = -4 \)
2. Donc \( \sqrt{\Delta} = 2i \)
3. Solutions : \( z = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \)

Solutions : \( z_1 = 2 + i \), \( z_2 = 2 – i \)

Solution :

1. Écrivons \( -8i \) en forme exponentielle :
   \( -8i = 8 \cdot e^{-i\pi/2} = 8 \cdot e^{i3\pi/2} \) (préféré car positif)
2. Les racines cubiques sont :
   \( z_k = 2 \cdot e^{i\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}\right)} = 2 \cdot e^{i\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}\right)} \) pour \( k = 0,1,2 \)
3. Calcul :
   • \( k=0 \): \( z_0 = 2e^{i\pi/2} = 2i \)
   • \( k=1 \): \( z_1 = 2e^{i7\pi/6} = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}i\right) = -\sqrt{3} – i \)
   • \( k=2 \): \( z_2 = 2e^{i11\pi/6} = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}i\right) = \sqrt{3} – i \)

Solution :

C’est une transformation de la forme \( z’ = az + b \) avec \( a \neq 0 \), donc une **similitude directe**.

1. \( a = 1+i \), donc \( |a| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \) → rapport d’homothétie
2. \( \arg(a) = \arg(1+i) = \frac{\pi}{4} \) → angle de rotation
3. Le centre est le point fixe : résolvons \( z = (1+i)z + 2 – i \)
   \( z – (1+i)z = 2 – i \Rightarrow z(-i) = 2 – i \Rightarrow z = \frac{2 – i}{-i} = \frac{(2 – i)i}{-i^2} = \frac{2i + 1}{1} = 1 + 2i \)

Nature : Similitude directe de centre \( 1+2i \), rapport \( \sqrt{2} \), angle \( \frac{\pi}{4} \)

Solution :

\( |z – 1| \) est la distance du point \( M(z) \) au point \( A(1) \)
\( |z – i| \) est la distance à \( B(i) \)

L’ensemble cherché est la médiatrice du segment \( [AB] \)

Avec \( A(1,0) \), \( B(0,1) \), le milieu est \( \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \)

La droite \( AB \) a pour vecteur \( \overrightarrow{AB} = (-1,1) \), donc la médiatrice a pour direction \( (1,1) \)

Équation : \( y = x \)

Solution :

Soit \( z = iy \) avec \( y \in \mathbb{R}^* \)

Alors : \( \frac{z-1}{z+1} = \frac{iy – 1}{iy + 1} \)

On multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

\( \frac{(iy – 1)(-iy + 1)}{(iy + 1)(-iy + 1)} = \frac{-i^2y^2 + iy + iy -1}{y^2 + 1} = \frac{y^2 – 1 + 2iy}{y^2 + 1} \)

Partie réelle : \( \frac{y^2 – 1}{y^2 + 1} \), partie imaginaire : \( \frac{2y}{y^2 + 1} \)

L’argument \( \theta \) vérifie : \( \tan \theta = \frac{2y}{y^2 – 1} \)

Interprétation géométrique : C’est l’angle entre les vecteurs \( \overrightarrow{AM} \) et \( \overrightarrow{BM} \) où \( A(1) \), \( B(-1) \), \( M(iy) \)

Solution :

Calculons les premiers termes :

• \( z_0 = 1 \)
• \( z_1 = \frac{1 + i}{1 – i} = \frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)} = \frac{1 + 2i -1}{2} = i \)
• \( z_2 = \frac{i + i}{i – i} \) → division par 0 ? Non ! Attente…
• Correction : \( z_1 = \frac{1+i}{1-i} = i \)
• \( z_2 = \frac{i + i}{i – i} = \frac{2i}{0} \) → erreur !

Re-calculons soigneusement :

\( z_1 = \frac{1+i}{1-i} = i \) ✅

\( z_2 = \frac{i + i}{i – i} = \frac{2i}{0} \) → impossible.

Erreur dans l’énoncé ou calcul ? Vérifions :

\( z_1 = i \), donc \( z_2 = \frac{i + i}{i – i} = \frac{2i}{0} \) → non défini.

Peut-être \( z_0 = 2 \) ? Ou erreur dans la suite ?

Supposons que \( z_0 = 1 \), alors \( z_1 = i \), et \( z_2 \) n’existe pas.

Conclusion : La suite n’est pas définie au-delà de \( z_1 \).

Solution :

Posons \( Z = z^2 \), alors : \( Z^2 – 2Z + 4 = 0 \)

Discriminant : \( \Delta = 4 – 16 = -12 = (2i\sqrt{3})^2 \)

Solutions : \( Z = \frac{2 \pm 2i\sqrt{3}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3} \)

Chaque \( Z \) donne deux racines carrées :

• Pour \( Z_1 = 1 + i\sqrt{3} = 2 e^{i\pi/3} \), racines : \( \sqrt{2} e^{i\pi/6} \), \( \sqrt{2} e^{i7\pi/6} \)
• Pour \( Z_2 = 1 – i\sqrt{3} = 2 e^{-i\pi/3} \), racines : \( \sqrt{2} e^{-i\pi/6} \), \( \sqrt{2} e^{i5\pi/6} \)

Solutions finales :
\( z = \sqrt{2} e^{\pm i\pi/6} \), \( z = \sqrt{2} e^{\pm i5\pi/6} \)