Solution :

1. Factorisation : \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\) pour \(x \neq 2\)
2. Donc \(\lim_{x \to 2} x + 2 = 4\)

Solution :

1. Multiplier par la quantité conjuguée : \(\frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x}\)
2. Simplifier : \(\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\)
3. Diviser par x : \(\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}\) → \(\frac{3}{2}\)

Solution :

1. Utiliser \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\)
2. Écrire \(\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}\)
3. Donc la limite vaut \(\frac{5}{3}\)

Solution :

1. \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x – 1} = 2\) (simplification)
2. Mais \(f(1) = 3\)
3. La limite ≠ valeur de la fonction ⇒ discontinue

Solution :

1. \(f(x) = x^3 + 2x – 5\) est continue sur [1,2]
2. \(f(1) = -2\) et \(f(2) = 7\)
3. \(0 ∈ [-2,7]\) ⇒ ∃c ∈ [1,2] tel que \(f(c) = 0\)

Solution :

1. Asymptote verticale : x=1 (limite infinie)
2. Asymptote oblique : Division polynomiale :
   \(f(x) = 2x + 2 + \frac{-1}{x-1}\)
   Donc y=2x+2 est asymptote oblique

Solution :

1. Poser \(X = -x\) → \( \lim_{X \to +\infty} -X e^{-X} \)
2. Écrire \( \lim_{X \to +\infty} \frac{-X}{e^X} = 0 \) (l’exponentielle l’emporte)

Solution :

1. \(\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1\)
2. \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}\) (quantité conjuguée)
3. Les limites à gauche et droite diffèrent ⇒ pas de continuité possible
4. Sauf si a=1 et on prolonge par continuité à gauche seulement

Solution :

1. L’exponentielle l’emporte sur toute puissance
2. Donc \(\frac{x^3}{e^x} \to 0\) et \(\frac{\ln x}{e^x} \to 0\)
3. La limite vaut 0

Solution :

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 0 \times 1 = 0\)
2. On peut donc définir \(f(0) = 0\)
3. La fonction prolongée est alors continue en 0