Exercice 1 : Simplification d’expressions

Simplifier :

1. \( A = e^{2\ln(3)} \)
2. \( B = \frac{e^{3x} \cdot e^{-x}}{e^{2x + 1}} \)

Exercice 2 : Résolution d’équations

Résoudre dans \( \mathbb{R} \) :

\( e^{2x} – 5e^x + 6 = 0 \)

Exercice 3 : Étude de fonction

Soit \( f(x) = x e^{-x} \).

1. Calculer la dérivée
2. Étudier les variations

Exercice 4 : Limites

Calculer :

1. \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^2} \)
2. \( \lim_{x \to -\infty} x e^x \)

Exercice 5 : Fonction composée

Soit \( f(x) = e^{-x^2} \).

1. Déterminer le domaine de définition
2. Étudier la parité
3. Calculer la dérivée

Exercice 6 : Inéquation

Résoudre : \( e^{2x} – 4e^x \geq 0 \)

Exercice 7 : Dérivée seconde

Pour \( f(x) = e^{x^2} \), calculer \( f”(x) \).

Exercice 8 : Tangente

Déterminer l’équation de la tangente à \( y = e^{-x} \) en \( x = 0 \).

Exercice 9 : Fonction exponentielle générale

Soit \( f(x) = 2^{3x} \).

1. Exprimer \( f(x) \) en base \( e \)
2. Calculer la dérivée

Exercice 10 : Problème concret

Une population de bactéries double toutes les heures. À \( t=0 \), il y a 100 bactéries.

1. Donner l’expression \( N(t) \)
2. Calculer le temps nécessaire pour atteindre 10 000 bactéries