Solution :

1. \( f \) est continue sur \([1,3]\) et dérivable sur \(]1,3[\) (fonction polynomiale)
2. \( f'(c) = 2c = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4 \Rightarrow c = 2 \)

Solution :

1. \( f(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0 \), \( f(3) = 27 – 54 + 33 – 6 = 0 \), donc \( f(1) = f(3) \). \( f \) est dérivable ⇒ Rolle s’applique.
2. \( f'(x) = 3x^2 – 12x + 11 \). Résolvons \( 3c^2 – 12c + 11 = 0 \)
   Discriminant : \( \Delta = 144 – 132 = 12 \)
   Solutions : \( c = \frac{12 \pm \sqrt{12}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.42 \text{ et } 2.58 \)

Solution :

Appliquons le TAF à \( f(t) = \ln(1+t) \) sur \([0, x]\).

Il existe \( c \in ]0, x[ \) tel que :

\( \frac{\ln(1+x) – \ln(1+0)}{x – 0} = f'(c) = \frac{1}{1+c} \)

Donc \( \ln(1+x) = \frac{x}{1+c} \).

Comme \( 0 < c < x \), on a :

• \( \frac{1}{1+x} < \frac{1}{1+c} < 1 \)
• Multiplication par \( x > 0 \) : \( \frac{x}{1+x} < \frac{x}{1+c} < x \)
• Donc \( \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x \)

Solution :

1. \( f'(c) = \cos(c) = \frac{f(\pi/2) – f(0)}{\pi/2 – 0} = \frac{1 – 0}{\pi/2} = \frac{2}{\pi} \)
2. \( c = \arccos\left(\frac{2}{\pi}\right) \approx 0.88 \) radians
3. Géométriquement, la tangente au point \( c \) est parallèle à la corde reliant \((0,0)\) à \((\pi/2,1)\).

Solution :

1. \( f(-1) = -1 – 3 = -4 \), \( f(1) = 1 – 3 = -2 \)
   Donc \( \frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{-2 – (-4)}{2} = 1 \)
   \( f'(x) = 3x^2 – 6x \), donc \( 3c^2 – 6c = 1 \)
   Équation : \( 3c^2 – 6c – 1 = 0 \)
   \( \Delta = 36 + 12 = 48 \Rightarrow c = \frac{6 \pm \sqrt{48}}{6} = 1 \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
   Seule \( c = 1 – \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 0.42 \) est dans \(]-1,1[\)
2. Car \( f(-1) = -4 \neq f(1) = -2 \), donc condition de Rolle non satisfaite.

Solution :

1. Par TAF, il existe \( c \in ]0,x[ \) tel que :
   \( e^c = \frac{e^x – e^0}{x – 0} = \frac{e^x – 1}{x} \)
2. Comme \( 0 < c < x \), alors \( 1 < e^c < e^x \)
   Donc \( 1 < \frac{e^x - 1}{x} < e^x \)
   Multiplier par \( x > 0 \) : \( x < e^x - 1 < x e^x \)
   Ajouter 1 : \( 1 + x < e^x < 1 + x e^x \)

Solution :

1. \( f'(c) = \frac{1}{c} = \frac{f(e) – f(1)}{e – 1} = \frac{1 – 0}{e – 1} = \frac{1}{e – 1} \)
2. Donc \( c = e – 1 \)
3. \( c \approx 2.718 – 1 = 1.718 \)

Solution :

Supposons \( a < b \). Appliquons le TAF à \( f(x) = \sin x \) sur \([a,b]\) :

Il existe \( c \in ]a,b[ \) tel que :

\( \frac{\sin b – \sin a}{b – a} = \cos c \)

Or \( |\cos c| \leq 1 \), donc :

\( \left| \frac{\sin b – \sin a}{b – a} \right| \leq 1 \Rightarrow |\sin b – \sin a| \leq |b – a| \)

Cette inégalité reste vraie si \( a > b \) ou \( a = b \).

Solution :

1. \( f'(x) = 3x^2 + k \), donc \( f'(0.5) = 3(0.25) + k = 0.75 + k \)
   Moyenne : \( \frac{f(1) – f(-1)}{1 – (-1)} = \frac{(1 + k) – (-1 – k)}{2} = \frac{2 + 2k}{2} = 1 + k \)
   On veut \( 0.75 + k = 1 + k \)? Non → erreur.
   Correction : \( f(1) = 1 + k \), \( f(-1) = -1 – k \), donc \( f(1) – f(-1) = 2 + 2k \)
   Taux : \( \frac{2+2k}{2} = 1 + k \)
   Donc \( f'(0.5) = 0.75 + k = 1 + k \Rightarrow 0.75 = 1 \) → impossible.
   Nouvelle approche : supposons que \( c = 0.5 \) soit solution de \( f'(c) = 1 + k \)
   Alors \( 3(0.5)^2 + k = 1 + k \Rightarrow 0.75 + k = 1 + k \Rightarrow 0.75 = 1 \): contradiction.
   En fait, l’énoncé doit être revu. Supposons plutôt : trouver \( k \) tel que \( c = 0.5 \) satisfait \( f'(c) = \frac{f(1)-f(-1)}{2} \)
   \( f'(0.5) = 0.75 + k \), moyenne = \( 1 + k \)
   \( 0.75 + k = 1 + k \) → impossible. Donc **aucune valeur** de \( k \) ne convient.
2. Le problème n’a pas de solution réelle.

Solution :

1. Soit \( d(t) \) la distance parcourue à l’instant \( t \) (en heures). \( d(0) = 0 \), \( d(1.5) = 120 \).
   \( d \) est continue sur \([0,1.5]\), dérivable sur \(]0,1.5[\) (vitesse définie partout).
   Par TAF, il existe \( c \in ]0,1.5[ \) tel que :
   \( d'(c) = \frac{d(1.5) – d(0)}{1.5 – 0} = \frac{120}{1.5} = 80 \) km/h.
2. Théorème de la vitesse moyenne : Si un objet se déplace selon une fonction de position continue et dérivable sur \([a,b]\), alors il existe un instant \( c \in ]a,b[ \) où la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne.