10 Exercices sur le Théorème des Accroissements Finis
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Application directe du TAF
Soit \( f(x) = x^2 \) sur \([1, 3]\) :
- Vérifier les hypothèses du TAF
- Trouver tous les \( c \in ]1, 3[ \) qui satisfont le théorème
Solution :
- \( f \) est continue et dérivable sur ℝ (fonction polynomiale)
- \( f'(c) = 2c = \frac{9-1}{3-1} = 4 \) ⇒ \( c = 2 \)
Exercice 2 : Théorème de Rolle
Pour \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) sur \([1, 3]\) :
- Montrer que le théorème de Rolle s’applique
- Trouver le(s) point(s) \( c \) garantis
Solution :
- \( f(1) = f(3) = 0 \), et \( f \) est dérivable sur ℝ
- \( f'(x) = 3x^2 – 12x + 11 \). Solutions : \( c = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Exercice 3 : Inégalité avec TAF
En utilisant le TAF, montrer que pour \( x > 0 \) :
\[ \frac{x}{1 + x} < \ln(1 + x) < x \]
Solution :
Appliquer le TAF à \( f(t) = \ln(1+t) \) sur \([0,x]\) :
\( \frac{1}{1+c} = \frac{\ln(1+x)}{x} \) pour un \( c \in ]0,x[ \)
Comme \( \frac{1}{1+x} < \frac{1}{1+c} < 1 \), l'inégalité en découle.
Exercice 4 : Fonction trigonométrique
Pour \( f(x) = \sin(x) \) sur \([0, \pi/2]\) :
- Appliquer le TAF
- Trouver la(les) valeur(s) de \( c \)
- Interpréter géométriquement
Solution :
- \( \cos(c) = \frac{1 – 0}{\pi/2 – 0} = \frac{2}{\pi} \)
- \( c = \arccos(2/\pi) \approx 0.88 \) radians
- La tangente en \( x = c \) est parallèle à la corde joignant les extrémités
Exercice 5 : Points multiples
Pour \( f(x) = x^3 – 3x^2 \) sur \([-1, 1]\) :
- Trouver toutes les valeurs de \( c \) vérifiant le TAF
- Pourquoi le théorème de Rolle ne s’applique-t-il pas directement ?
Solution :
- \( 3c^2 – 6c = \frac{f(1)-f(-1)}{2} = -2 \) ⇒ \( c = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \) (seul \( c \approx 0.42 \) est dans \(]-1,1[\))
- \( f(-1) = -4 \neq f(1) = -2 \)
Exercice 6 : Fonction exponentielle
Considérons \( f(x) = e^x \) sur \([0, x]\) :
- Appliquer le TAF pour exprimer \( e^x \) en fonction de \( c \)
- En déduire que \( 1 + x < e^x < 1 + xe^x \) pour \( x > 0 \)
Solution :
- \( e^c = \frac{e^x – 1}{x} \) pour un \( c \in ]0,x[ \)
- Comme \( 1 < e^c < e^x \), multiplier par \( x > 0 \) et réarranger
Exercice 7 : Fonction logarithme
Pour \( f(x) = \ln(x) \) sur \([1, e]\) :
- Appliquer le TAF
- Trouver la valeur exacte de \( c \)
- Donner une approximation décimale
Solution :
- \( \frac{1}{c} = \frac{1 – 0}{e – 1} = \frac{1}{e – 1} \)
- \( c = e – 1 \)
- \( c \approx 1.718 \)
Exercice 8 : Inégalité trigonométrique
Montrer en utilisant le TAF que pour tous \( a, b \in \mathbb{R} \) :
\[ |\sin a – \sin b| \leq |a – b| \]
Solution :
Appliquez le TAF à \( f(x) = \sin x \) sur \([a,b]\) :
\( \cos c = \frac{\sin b – \sin a}{b – a} \) avec \( |\cos c| \leq 1 \)
Donc \( \left| \frac{\sin b – \sin a}{b – a} \right| \leq 1 \) ⇒ l’inégalité.
Exercice 9 : Fonction paramétrique
Soit \( f(x) = x^3 + kx \) sur \([-1, 1]\) :
- Pour quelle valeur de \( k \) le TAF donne-t-il \( c = 0.5 \) ?
- Combien de points \( c \) existent pour cette valeur de \( k \) ?
Solution :
- \( f'(0.5) = 3(0.5)^2 + k = \frac{f(1)-f(-1)}{2} = 1 \) ⇒ \( k = 0.25 \)
- Deux points : \( c = 0.5 \) et \( c \approx -0.78 \) (solution de \( 3c^2 + 0.25 = 1 \))
Exercice 10 : Problème d’optimisation
Un véhicule parcourt 120 km en 1h30. Montrer qu’à un moment :
- Sa vitesse instantanée était exactement de 80 km/h
- Généraliser pour un trajet quelconque (théorème de la vitesse moyenne)
Solution :
- Appliquez le TAF à la distance \( d(t) \) : \( d'(c) = \frac{120}{1.5} = 80 \) km/h
- Pour tout trajet \( d \) continu et dérivable, il existe un instant où la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne
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