Compléter le tableau suivant et tracer le polygone des fréquences cumulées croissantes :
Notes
[0;5[
[5;10[
[10;15[
[15;20]
Effectifs
4
8
12
6
Solution :
Notes
[0;5[
[5;10[
[10;15[
[15;20]
FCC
13.3%
40%
80%
100%
Exercice 5 : Probabilités simples
Dans une classe de 30 élèves, 18 étudient l’anglais, 15 étudient l’espagnol et 5 étudient les deux langues. Quelle est la probabilité qu’un élève choisi au hasard :
Étudie au moins une de ces deux langues ?
N’étudie aucune des deux langues ?
Étudie seulement l’anglais ?
Solution :
Cardinalités :
Anglais seulement : 18 – 5 = 13
Espagnol seulement : 15 – 5 = 10
Les deux : 5
Aucune : 30 – (13 + 10 + 5) = 2
P(A∪E) = (13 + 10 + 5)/30 = 28/30 ≈ 93.3%
P(Aucune) = 2/30 ≈ 6.7%
P(Anglais seulement) = 13/30 ≈ 43.3%
Exercice 6 : Loi binomiale
Un test comporte 10 questions à choix multiples (4 options, 1 correcte). Un élève répond au hasard.
Quelle est la probabilité qu’il ait exactement 5 bonnes réponses ?
Quelle est la probabilité qu’il ait au moins 8 bonnes réponses ?
Solution :
Loi binomiale B(n=10, p=0.25)
a) P(X=5) = C(10,5)×(0.25)5×(0.75)5 ≈ 0.0584 (5.84%)
Dans un échantillon de 200 composants électroniques, 24 sont défectueux. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% et conclure si le taux de défaut annoncé (8%) est compatible.
Solution :
Proportion observée : 24/200 = 12%
Intervalle de fluctuation (n=200, p=0.08) :
\[ I = \left[0.08 – 1.96\sqrt{\frac{0.08×0.92}{200}}; 0.08 + 1.96\sqrt{\frac{0.08×0.92}{200}}\right] \]
\[ I ≈ [0.042; 0.118] \text{ soit } [4.2%; 11.8%] \]
12% ∉ [4.2%; 11.8%] ⇒ Le taux annoncé n’est pas compatible
Exercice 8 : Ajustement linéaire
On a relevé pour 5 entreprises leur budget R&D (x en M€) et leur chiffre d’affaires (y en M€) :
x
1.2
1.8
2.5
3.2
4.0
y
15
18
22
25
30
1. Calculer le coefficient de corrélation. 2. Déterminer la droite de régression.
Solution :
Moyennes : x̄ = 2.54, ȳ = 22
Covariance : Cov(x,y) ≈ 3.8
Écart-types : σx ≈ 1.02, σy ≈ 5.34
Coefficient de corrélation : r ≈ 0.997 (très forte corrélation)
Droite de régression : y = a·x + b avec a = Cov(x,y)/Var(x) ≈ 3.66, b = ȳ – a·x̄ ≈ 12.7
Équation : y ≈ 3.66x + 12.7
Exercice 9 : Probabilités conditionnelles
Dans un atelier, 60% des pièces sont produites par la machine A (dont 2% de défectueuses) et 40% par la machine B (dont 5% de défectueuses).
Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse ?
Sachant qu’une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la machine A ?
