Exercices : Rotation d’un Solide autour d’un Axe Fixe
Mécanique – 2ème BAC Sciences et Technologies Elécriques STE
Exercice 1 : Vitesse angulaire
Une roue tourne à 120 tr/min. Calculer sa vitesse angulaire en rad/s.
Solution :
\[ ω = 120 \times \frac{2π}{60} = 4π \approx 12.57\ \text{rad/s} \]
Exercice 2 : Accélération angulaire
Un disque passe de 0 à 1800 tr/min en 3 minutes. Calculer son accélération angulaire α en rad/s².
Solution :
\[ ω_f = 1800 \times \frac{2π}{60} = 60π\ \text{rad/s} \]
\[ α = \frac{Δω}{Δt} = \frac{60π – 0}{180} \approx 1.05\ \text{rad/s²} \]
Exercice 3 : Moment d’inertie
Calculer le moment d’inertie d’une tige homogène de 2 kg et 1 m de longueur tournant autour d’une extrémité.
Solution :
\[ I = \frac{1}{3}mL^2 = \frac{1}{3} \times 2 \times 1^2 \approx 0.67\ \text{kg.m²} \]
Exercice 4 : Énergie cinétique
Un cylindre plein de 5 kg et 0.4 m de rayon tourne à 10 rad/s. Calculer son énergie cinétique de rotation.
Solution :
\[ I = \frac{1}{2}mR^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 0.4^2 = 0.4\ \text{kg.m²} \]
\[ E_c = \frac{1}{2}Iω^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times 10^2 = 20\ \text{J} \]
Exercice 5 : Moment de force
Une force de 50 N est appliquée tangentiellement à une roue de 0.5 m de rayon. Calculer le moment de cette force.
Solution :
\[ M = F \times R = 50 \times 0.5 = 25\ \text{N.m} \]
Exercice 6 : Accélération centripète
Un point situé à 0.3 m de l’axe d’un disque tournant à 30 rad/s. Calculer son accélération centripète.
Solution :
\[ a = Rω^2 = 0.3 \times 30^2 = 270\ \text{m/s²} \]
Exercice 7 : Théorème de l’énergie
Un volant d’inertie (I = 2 kg.m²) passe de 5 à 15 rad/s sous l’action d’un couple. Calculer le travail du couple.
Solution :
\[ W = ΔE_c = \frac{1}{2}I(ω_f^2 – ω_i^2) = \frac{1}{2} \times 2 \times (15^2 – 5^2) = 200\ \text{J} \]
Exercice 8 : Dynamique de rotation
Un disque (I = 0.5 kg.m²) subit un couple de 10 N.m. Calculer son accélération angulaire.
Solution :
\[ ΣM = Iα \Rightarrow α = \frac{ΣM}{I} = \frac{10}{0.5} = 20\ \text{rad/s²} \]
Exercice 9 : Freinage rotatif
Un volant (I = 4 kg.m²) passe de 600 tr/min à l’arrêt en 20 s. Calculer le moment du couple de freinage.
Solution :
\[ ω_i = 600 \times \frac{2π}{60} = 20π\ \text{rad/s} \]
\[ α = \frac{0 – 20π}{20} = -π\ \text{rad/s²} \]
\[ M = Iα = 4 \times (-π) \approx -12.57\ \text{N.m} \]
Exercice 10 : Transmission par courroie
Une poulie motrice (R1=10cm) tourne à 30 rad/s et entraîne une poulie réceptrice (R2=5cm). Calculer ω2.
Solution :
\[ v_1 = v_2 \Rightarrow R_1ω_1 = R_2ω_2 \]
\[ ω_2 = \frac{R_1}{R_2}ω_1 = \frac{10}{5} \times 30 = 60\ \text{rad/s} \]
