Exercices : Produit ScalaireTronc Commun Technologies
Exercice 1 : Calcul direct
Soient u (3,1) et v (-2,4).
Calculer u ·v par la formule algébrique
Vérifier le résultat en utilisant les normes et l’angle θ=120° entre les vecteurs
Solution :
a) u ·v = (3×-2) + (1×4) = -6 + 4 = -2
b) ||u || = √(3²+1²) = √10v || = √((-2)²+4²) = √20u ·v = √10 × √20 × cos(120°) ≈ 4.472 × 4.472 × (-0.5) ≈ -10 (approximation due à l’angle)
u(3,1)
v(-2,4)
θ=120°
u·v = -2
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Exercice 2 : Orthogonalité
Déterminer la valeur de m pour que les vecteurs u (2,5) et v (m,-3) soient orthogonaux.
Solution :
Condition d’orthogonalité : u ·v = 0
u(2,5)
v(7.5,-3)
m = 7.5
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Exercice 3 : Projection orthogonale
Soient u (4,2) et v (1,3).
Calculer le projeté orthogonal de u sur v
Représenter graphiquement cette projection
Solution :
a) projv u = (u ·v /||v ||²) × v u ·v = 4×1 + 2×3 = 10v ||² = 1² + 3² = 10v u = (10/10)v = v (1,3)
u(4,2)
v(1,3)
projv u = v
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Exercice 4 : Application technologique
Une force F (300,400) (en N) déplace un objet selon le vecteur d (5,0) (en m).
Calculer le travail W = F ·d
Interpréter physiquement le résultat
Solution :
a) W = 300×5 + 400×0 = 1500 J
b) Seule la composante horizontale de la force travaille, la composante verticale est perpendiculaire au déplacement.
d(5,0)
F(300,400)
Travail W = 1500 J
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Exercice 5 : Angle entre vecteurs
Soient u (1,√3) et v (-√2,√2).
Calculer l’angle θ entre ces deux vecteurs
Vérifier en représentant les vecteurs
Solution :
a) cosθ = (u ·v )/(||u ||×||v ||)u ·v = 1×(-√2) + √3×√2 = √2(√3 – 1)u || = √(1+3) = 2v || = √(2+2) = 2
u(1,√3)
v(-√2,√2)
θ≈75°
Angle entre vecteurs
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Exercice 6 : Vecteurs unitaires
Soit v (3,-4). Trouver tous les vecteurs unitaires orthogonaux à v .
Solution :
Les vecteurs orthogonaux à v sont de la forme k(4,3) (obtenu en inversant les composantes et changeant un signe).u 1 = (4/5,3/5) et u 2 = (-4/5,-3/5)
v(3,-4)
u1 (0.8,0.6)
u2 (-0.8,-0.6)
Vecteurs unitaires orthogonaux
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Exercice 7 : Optimisation technique
Un bras robotique applique une force F = (x,2x) pour pousser un objet selon d = (4,1).
Déterminer x pour que le travail soit maximal.
Solution :
W = F ·d = 4x + 2x×1 = 6xF || ≤ 1: √(x²+(2x)²) ≤ 1 ⇒ x√5 ≤ 1 ⇒ x ≤ √5/5 ≈ 0.447
d(4,1)
F(x,2x)
Travail maximal = 6x
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Exercice 8 : Formule des normes
Soient u et v deux vecteurs tels que ||u ||=3, ||v ||=4 et ||u +v ||=5.
Calculer u ·v
En déduire l’angle entre u et v
Solution :
a) ||u +v ||² = ||u ||² + ||v ||² + 2u ·v u ·v ⇒ u ·v = 0
b) cosθ = 0 ⇒ θ = 90° (vecteurs orthogonaux)
u (||u||=3)
v (||v||=4)
u+v (||u+v||=5)
Vecteurs orthogonaux
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Exercice 9 : Théorème de la médiane
Soient A(1,2) et B(5,4) deux points du plan.
Calculer AB² à l’aide du produit scalaire
Vérifier le théorème de la médiane avec M(3,3) milieu de [AB]
Solution :
a) AB (4,2)AB ·AB = 4² + 2² = 20
b) Pour tout point O, OA² + OB² = 2OM² + AB²/2
A(1,2)
B(5,4)
M(3,3)
Théorème de la médiane
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Exercice 10 : Application architecturale
Un architecte conçoit un mur avec une inclinaison de 30° par rapport au sol (horizontal).
La force de pesanteur est F (0,-mg). Calculer la composante normale de la force sur le mur.
Solution :
Vecteur normal au mur: n (cos60°,sin60°) = (0.5,√3/2)n = F ·n = 0×0.5 + (-mg)×√3/2 = -mg√3/2
Sol
Mur
F(0,-mg)
n(0.5,√3/2)
30°
Fn ≈ 0.866mg
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