Exercices : Mouvement des Satellites et des Planètes
Mécanique – 2ème BAC Sciences Mathématiques SMA
Exercice 1 : Période orbitale
Calculer la période de révolution d’un satellite en orbite circulaire à 500 km d’altitude (MT = 5.97×1024 kg, RT = 6 371 km, G = 6.67×10-11 N.m2/kg2).
Solution :
\[ T = 2π\sqrt{\frac{(R_T+h)^3}{GM_T}} \approx 2π\sqrt{\frac{(6\,871\,000)^3}{6.67×10^{-11}×5.97×10^{24}}} \approx 5\,680\ \text{s} \ (\sim94.7\ \text{min}) \]
Exercice 2 : Vitesse orbitale
Calculer la vitesse d’un satellite géostationnaire (altitude ≈ 35 786 km).
Solution :
\[ v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} = \sqrt{\frac{6.67×10^{-11}×5.97×10^{24}}{42\,157\,000}} \approx 3\,074\ \text{m/s} \]
Exercice 3 : Troisième loi de Kepler
Mars a une période orbitale de 687 jours et un demi-grand axe de 227.9×106 km. Vérifier la 3ème loi de Kepler.
Solution :
\[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{(687×24×3600)^2}{(227.9×10^9)^3} ≈ 2.97×10^{-19}\ \text{s}^2/\text{m}^3 \]
Pour la Terre (T = 1 an, a = 1 UA) :
\[ \frac{(365.25×24×3600)^2}{(149.6×10^9)^3} ≈ 2.97×10^{-19}\ \text{s}^2/\text{m}^3 \]
Exercice 4 : Vitesse de libération
Calculer la vitesse de libération à la surface de Mars (MM = 6.39×1023 kg, RM = 3 390 km).
Solution :
\[ v_l = \sqrt{\frac{2GM_M}{R_M}} = \sqrt{\frac{2×6.67×10^{-11}×6.39×10^{23}}{3\,390\,000}} ≈ 5\,020\ \text{m/s} \]
Exercice 5 : Énergie mécanique
Un satellite de 500 kg orbite à 400 km d’altitude. Calculer son énergie mécanique totale.
Solution :
\[ E_m = -\frac{GM_Tm}{2(R_T+h)} = -\frac{6.67×10^{-11}×5.97×10^{24}×500}{2×6\,771\,000} ≈ -1.47×10^{10}\ \text{J} \]
Exercice 6 : Satellite polaire
Un satellite polaire a une période de 100 minutes. Calculer son altitude (on prendra T0 = 84.5 min pour h = 0).
Solution :
\[ \frac{T^2}{(R_T+h)^3} = \frac{T_0^2}{R_T^3} \Rightarrow h = R_T\left(\left(\frac{T}{T_0}\right)^{2/3}-1\right) \]
\[ h ≈ 6\,371\left(\left(\frac{100}{84.5}\right)^{2/3}-1\right) ≈ 730\ \text{km} \]
Exercice 7 : Comparaison de périodes
Deux satellites ont des demi-grands axes orbitaux dans un rapport 4:1. Quel est le rapport de leurs périodes?
Solution :
\[ \frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{3/2} = \left(\frac{4}{1}\right)^{3/2} = 8 \]
Exercice 8 : Champ gravitationnel
Calculer l’intensité du champ gravitationnel à l’altitude de la Station Spatiale (h = 400 km).
Solution :
\[ g_h = \frac{GM_T}{(R_T+h)^2} ≈ \frac{6.67×10^{-11}×5.97×10^{24}}{(6\,771\,000)^2} ≈ 8.68\ \text{m/s}^2 \]
Exercice 9 : Satellite géostationnaire
Démontrer que l’altitude d’un satellite géostationnaire est d’environ 35 786 km.
Solution :
\[ T = 24\ \text{h} = 86\,400\ \text{s} \]
\[ \frac{T^2}{(R_T+h)^3} = \frac{4π^2}{GM_T} \]
\[ h = \left(\frac{GMT^2}{4π^2}\right)^{1/3} – R_T ≈ 35\,786\ \text{km} \]
Exercice 10 : Vitesse aréolaire
Vérifier la 2ème loi de Kepler pour la Terre (demi-grand axe = 149.6×106 km, excentricité = 0.0167).
Solution :
\[ \text{Vitesse aréolaire} = \frac{πab}{T} \]
\[ a = 149.6×10^6\ \text{km}, b = a\sqrt{1-e^2} \]
\[ \frac{dA}{dt} = \frac{π×149.6×149.6×\sqrt{1-0.0167^2}×10^{12}}{365.25×24×3600} ≈ 2.2×10^9\ \text{km}^2/\text{s} \]
Constante pour toutes positions orbitales
