Exercices : Développement, Factorisation et Identités Remarquables
Mathématiques – 3ème Année Collège
Exercice 1 : Développement simple
Développer les expressions suivantes :
a) 3(x + 4)
b) -2(5 – x)
c) x(2x + 3)
d) (x + 1)(x + 2)
Solution :
a) 3(x + 4) = 3x + 12
b) -2(5 – x) = -10 + 2x
c) x(2x + 3) = 2x² + 3x
d) (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2
Exercice 2 : Identités remarquables
Développer en utilisant les identités remarquables :
a) (x + 5)²
b) (3 – y)²
c) (2x + 1)(2x – 1)
d) (x + 4)(x – 4)
Solution :
a) (x + 5)² = x² + 10x + 25
b) (3 – y)² = 9 – 6y + y²
c) (2x + 1)(2x – 1) = 4x² – 1
d) (x + 4)(x – 4) = x² – 16
Exercice 3 : Factorisation
Factoriser les expressions suivantes :
a) 6x + 9
b) x² – 8x + 16
c) 4x² – 9
d) 3x² + 12x
Solution :
a) 6x + 9 = 3(2x + 3)
b) x² – 8x + 16 = (x – 4)²
c) 4x² – 9 = (2x + 3)(2x – 3)
d) 3x² + 12x = 3x(x + 4)
Exercice 4 : Développement avancé
Développer et réduire :
a) (x + 3)(x + 2) – (x + 1)²
b) 2(x – 1)² + 3(x + 2)(x – 2)
Solution :
a) (x + 3)(x + 2) – (x + 1)² = (x² + 5x + 6) – (x² + 2x + 1) = 3x + 5
b) 2(x – 1)² + 3(x + 2)(x – 2) = 2(x² – 2x + 1) + 3(x² – 4) = 5x² – 4x – 10
Exercice 5 : Problème géométrique
Un carré a pour côté (x + 3) cm.
1) Exprimer son aire sous forme développée.
2) Un rectangle a pour dimensions (x + 5) cm et (x – 5) cm. Exprimer son aire sous forme factorisée.
Solution :
1) Aire du carré = (x + 3)² = x² + 6x + 9 cm²
2) Aire du rectangle = (x + 5)(x – 5) = x² – 25 cm²
Exercice 6 : Équations
Résoudre les équations suivantes :
a) x² + 6x + 9 = 0
b) 4x² – 16 = 0
Solution :
a) x² + 6x + 9 = 0 ⇒ (x + 3)² = 0 ⇒ x = -3
b) 4x² – 16 = 0 ⇒ 4(x² – 4) = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 ou x = -2
Exercice 7 : Calcul mental
Calculer astucieusement :
a) 103 × 97
b) 45² – 35²
c) 99²
Solution :
a) 103 × 97 = (100 + 3)(100 – 3) = 100² – 3² = 9 991
b) 45² – 35² = (45 + 35)(45 – 35) = 80 × 10 = 800
c) 99² = (100 – 1)² = 100² – 2×100×1 + 1² = 9 801
Exercice 8 : Vrai ou Faux
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses (justifier) :
a) (x + 2)² = x² + 4
b) x² – 16 = (x – 4)(x + 4)
c) 4a² – 9b² = (2a – 3b)²
Solution :
a) Faux : (x + 2)² = x² + 4x + 4 ≠ x² + 4
b) Vrai : C’est l’identité a² – b² = (a – b)(a + b)
c) Faux : (2a – 3b)² = 4a² – 12ab + 9b² ≠ 4a² – 9b²
Exercice 9 : Expression complexe
Factoriser complètement : A = (2x + 1)² – (x – 3)²
Solution :
On reconnaît a² – b² avec a = (2x + 1) et b = (x – 3)
A = [(2x + 1) + (x – 3)][(2x + 1) – (x – 3)]
= (3x – 2)(x + 4)
Exercice 10 : Problème ouvert
Trouver tous les nombres entiers x tels que x² + 6x + 9 soit un carré parfait.
Solution :
x² + 6x + 9 = (x + 3)² qui est toujours un carré parfait pour tout x entier.
Donc tous les entiers relatifs x conviennent.
