10 Exercices sur les Limites et Continuité
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Calcul de limite simple
Calculer \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}\)
Solution :
- Factorisation : \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\) pour \(x \neq 2\)
- Donc \(\lim_{x \to 2} x + 2 = 4\)
Exercice 2 : Forme indéterminée
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 + 3x} – x\)
Solution :
- Multiplier par la quantité conjuguée : \(\frac{(\sqrt{x^2+3x}-x)(\sqrt{x^2+3x}+x)}{\sqrt{x^2+3x}+x}\)
- Simplifier : \(\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\)
- Diviser par \(x\) : \(\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1} \longrightarrow \frac{3}{2}\)
Exercice 3 : Limite trigonométrique
Calculer \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}\)
Solution :
- Utiliser \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\)
- Écrire \(\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}\)
- Donc la limite vaut \(\frac{5}{3}\)
Exercice 4 : Continuité en un point
Soit \(f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 – 1}{x – 1} & \text{si } x \neq 1 \\
3 & \text{si } x = 1
\end{cases}\)
f est-elle continue en \(x=1\) ?
Solution :
- \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 – 1}{x – 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2\)
- Mais \(f(1) = 3\)
- Comme \(\lim_{x \to 1} f(x) \neq f(1)\), \(f\) n’est pas continue en \(x = 1\).
Exercice 5 : Théorème des valeurs intermédiaires
Montrer que l’équation \(x^3 + 2x – 5 = 0\) admet une solution dans \([1,2]\)
Solution :
- Posons \(f(x) = x^3 + 2x – 5\). \(f\) est continue sur \([1,2]\) (polynôme).
- \(f(1) = 1 + 2 – 5 = -2 < 0\)
- \(f(2) = 8 + 4 – 5 = 7 > 0\)
- D’après le TVI, il existe \(c \in ]1,2[\) tel que \(f(c) = 0\).
Exercice 6 : Asymptotes
Déterminer les asymptotes de \(f(x) = \frac{2x^2 – 3}{x – 1}\)
Solution :
- Asymptote verticale : \(x = 1\) car \(\lim_{x \to 1^\pm} f(x) = \pm\infty\)
- Asymptote oblique : On divise :
\[
\frac{2x^2 – 3}{x – 1} = 2x + 2 + \frac{-1}{x – 1}
\]
Donc \(y = 2x + 2\) est une asymptote oblique.
Exercice 7 : Limite exponentielle
Calculer \(\lim_{x \to -\infty} x e^x\)
Solution :
- Posez \(X = -x\), donc \(x = -X\) et quand \(x \to -\infty\), \(X \to +\infty\)
- Alors \(x e^x = -X e^{-X} = -\frac{X}{e^X}\)
- On sait que \(\lim_{X \to +\infty} \frac{X}{e^X} = 0\), donc la limite est \(0\).
Exercice 8 : Fonction définie par morceaux
Soit \(f(x) = \begin{cases}
\frac{\sin x}{x} & \text{si } x < 0 \\
a & \text{si } x = 0 \\
\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} & \text{si } x > 0
\end{cases}\)
Pour quelle valeur de \(a\) la fonction est-elle continue en \(0\) ?
Solution :
- \(\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1\)
- \(\lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1+x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{2}\)
- Pour que \(f\) soit continue en \(0\), il faut que :
\[
\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
\]
- Or \(1 \neq \frac{1}{2}\), donc **aucune valeur de \(a\)** ne rend la fonction continue.
Exercice 9 : Croissance comparée
Calculer \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + \ln x}{e^x}\)
Solution :
- On sépare : \(\frac{x^3}{e^x} + \frac{\ln x}{e^x}\)
- Par croissances comparées :
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{e^x} = 0\)
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{e^x} = 0\)
- Donc la limite totale est \(0\).
Exercice 10 : Prolongement par continuité
Peut-on prolonger par continuité \(f(x) = \frac{\sin(x^2)}{x}\) en \(0\) ?
Solution :
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x} = \lim_{x \to 0} x \cdot \frac{\sin(x^2)}{x^2}\)
- On pose \(u = x^2 \to 0\), alors \(\frac{\sin(u)}{u} \to 1\)
- Donc \(\lim_{x \to 0} x \cdot 1 = 0\)
- Oui, on peut prolonger par continuité en posant \(f(0) = 0\).
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