Exercices : Les polynômes
Tronc Commun Technologies
Exercice 1 : Degré et forme standard
Pour chaque polynôme, déterminer son degré et l’écrire sous forme standard :
1. P(x) = 3x² – 2x⁵ + 7 – x³
2. Q(x) = (2x – 1)(x + 3)
3. R(x) = (x² + 1)² – x⁴
Exercice 2 : Évaluation et racines
Soit P(x) = x³ – 4x² + x + 6
1. Calculer P(2)
2. Vérifier que -1 est racine de P
3. Factoriser P(x)
Exercice 3 : Division polynomiale
Effectuer la division euclidienne de :
A(x) = 2x³ – 5x² + 3x – 1 par B(x) = x – 2
En déduire A(2)
Exercice 4 : Application technologique
La trajectoire d’un drone est modélisée par :
h(t) = -0.5t² + 5t + 10 (h en mètres, t en secondes)
1. Quelle est la hauteur initiale ?
2. Après combien de temps le drone touche-t-il le sol ?
3. Quelle est la hauteur maximale atteinte ?
Exercice 5 : Polynômes symétriques
Soit P(x) = x³ – 6x² + 11x – 6
1. Vérifier que P(1) = 0 et factoriser P(x)
2. Calculer la somme et le produit des racines
3. Trouver un polynôme dont les racines sont les carrés de celles de P
Exercice 6 : Formule de Taylor
Soit P(x) = x³ – 2x² + 3x – 4
1. Calculer P(1), P'(1), P”(1) et P”'(1)
2. Écrire le développement de Taylor en 1
3. En déduire P(1.1) (valeur approchée)
Exercice 7 : Interpolation polynomiale
Trouver le polynôme de degré 2 passant par :
(1,2), (2,5) et (3,10)
Vérifier qu’il s’agit bien de x² + 1
Exercice 8 : Résistance électrique
La puissance dissipée dans une résistance R est P(R) = RI² où I = 2A.
La tension U(R) = 10 – 0.5R (en volts)
1. Exprimer P(R) sous forme polynomiale
2. Pour quelle valeur de R la puissance est-elle maximale ?
3. Calculer P(4)
Exercice 9 : Approximation polynomiale
On veut approximer √x près de x=1 par un polynôme de degré 2.
1. Calculer f(1), f'(1), f”(1) pour f(x) = √x
2. Donner le polynôme de Taylor T₂(x)
3. Comparer T₂(1.1) et √1.1
Exercice 10 : Synthèse
Soit P(x) = x⁴ – 5x³ + 6x² + 4x – 8
1. Vérifier que 2 est racine double
2. Factoriser P(x)
3. Étudier le signe de P(x)
