Exercices : Gravitation Universelle
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Exercice 1 : Force gravitationnelle
Calculer la force gravitationnelle entre la Terre (MT = 5.97×1024 kg) et la Lune (ML = 7.34×1022 kg) séparées de 384 400 km (G = 6.67×10-11 N.m2/kg2).
Solution :
\[ F = G\frac{M_T \times M_L}{d^2} = 6.67×10^{-11}\frac{5.97×10^{24}×7.34×10^{22}}{(3.844×10^8)^2} \approx 1.98×10^{20}\ \text{N} \]
Exercice 2 : Intensité du champ gravitationnel
Calculer l’intensité du champ gravitationnel à la surface de Mars (MM = 6.39×1023 kg, RM = 3 390 km).
Solution :
\[ g = \frac{GM}{R^2} = \frac{6.67×10^{-11}×6.39×10^{23}}{(3.39×10^6)^2} \approx 3.71\ \text{m/s}^2 \]
Exercice 3 : Poids d’un objet
Un astronaute de 80 kg se trouve à la surface de la Lune (RL = 1 737 km, ML = 7.34×1022 kg). Calculer son poids.
Solution :
\[ P = m \times g_L = m \times \frac{GM_L}{R_L^2} = 80 \times \frac{6.67×10^{-11}×7.34×10^{22}}{(1.737×10^6)^2} \approx 130\ \text{N} \]
Exercice 4 : Vitesse orbitale
Calculer la vitesse orbitale d’un satellite en orbite circulaire à 400 km d’altitude (MT = 5.97×1024 kg, RT = 6 371 km).
Solution :
\[ v = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} = \sqrt{\frac{6.67×10^{-11}×5.97×10^{24}}{6\,771\,000}} \approx 7\,670\ \text{m/s} \]
Exercice 5 : Période de révolution
Calculer la période de révolution d’un satellite géostationnaire (altitude ≈ 35 786 km).
Solution :
\[ T = 2π\sqrt{\frac{r^3}{GM_T}} = 2π\sqrt{\frac{(42\,157\,000)^3}{6.67×10^{-11}×5.97×10^{24}}} \approx 86\,164\ \text{s} \ (\sim24\ \text{h}) \]
Exercice 6 : Troisième loi de Kepler
Mars a une période orbitale de 687 jours et un demi-grand axe de 227.9×106 km. Vérifier que T²/a³ est constant.
Solution :
\[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{(687×24×3600)^2}{(227.9×10^9)^3} ≈ 2.97×10^{-19}\ \text{s}^2/\text{m}^3 \]
Pour la Terre (T = 1 an, a = 1 UA) :
\[ \frac{(365.25×24×3600)^2}{(149.6×10^9)^3} ≈ 2.97×10^{-19}\ \text{s}^2/\text{m}^3 \]
Exercice 7 : Vitesse de libération
Calculer la vitesse de libération à la surface de la Lune (ML = 7.34×1022 kg, RL = 1 737 km).
Solution :
\[ v_l = \sqrt{\frac{2GM_L}{R_L}} = \sqrt{\frac{2×6.67×10^{-11}×7.34×10^{22}}{1.737×10^6}} ≈ 2\,370\ \text{m/s} \]
Exercice 8 : Champ gravitationnel à altitude
Calculer l’intensité du champ gravitationnel à 1 000 km d’altitude (MT = 5.97×1024 kg, RT = 6 371 km).
Solution :
\[ g_h = \frac{GM_T}{(R_T+h)^2} = \frac{6.67×10^{-11}×5.97×10^{24}}{(7\,371\,000)^2} ≈ 7.33\ \text{m/s}^2 \]
Exercice 9 : Comparaison de forces
La force gravitationnelle entre deux objets est F à distance d. Que devient cette force si la distance est triplée?
Solution :
\[ F’ = G\frac{m_1m_2}{(3d)^2} = \frac{1}{9}G\frac{m_1m_2}{d^2} = \frac{F}{9} \]
Exercice 10 : Satellite en orbite basse
Un satellite de 200 kg orbite à 300 km d’altitude. Calculer son énergie mécanique totale.
Solution :
\[ E_m = -\frac{GM_Tm}{2(R_T+h)} = -\frac{6.67×10^{-11}×5.97×10^{24}×200}{2×6\,671\,000} ≈ -5.97×10^9\ \text{J} \]
