Exercices : Généralités sur les Fonctions
Tronc Commun Technologies
Exercice 1 : Domaine de définition
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
- \( f(x) = \frac{3x + 2}{x^2 – 4} \)
- \( g(x) = \sqrt{9 – x^2} \)
- \( h(x) = \frac{1}{\sqrt{x – 1}} \)
Solution :
a) \( x^2 – 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm2 \)
Domaine: \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} \)
b) \( 9 – x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-3, 3] \)
c) \( x – 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
Exercice 2 : Images et antécédents
Soit \( f(x) = 2x^2 – 3x + 1 \).
- Calculer \( f(0) \), \( f(1) \) et \( f(-2) \)
- Déterminer les antécédents de 0
- Déterminer les antécédents de 5
Solution :
a)
\( f(0) = 1 \)
\( f(1) = 0 \)
\( f(-2) = 15 \)
b) \( 2x^2 – 3x + 1 = 0 \)
Solutions: \( x = 1 \) et \( x = \frac{1}{2} \)
c) \( 2x^2 – 3x – 4 = 0 \)
Solutions: \( x = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{4} \)
Exercice 3 : Variations et tableau de signe
Soit \( f(x) = -x^2 + 4x – 3 \).
- Étudier les variations de f
- Dresser son tableau de signe
- Tracer son graphe
Solution :
a)
Dérivée: \( f'(x) = -2x + 4 \)
Croissante sur \( ]-\infty, 2] \), décroissante sur \( [2, +\infty[ \)
b) Racines: \( x = 1 \) et \( x = 3 \)
Positive sur [1,3], négative ailleurs
Exercice 4 : Fonctions affines
Une fonction affine f vérifie \( f(2) = 5 \) et \( f(-1) = -1 \).
- Déterminer l’expression de f(x)
- Tracer sa représentation graphique
- Résoudre \( f(x) = 0 \)
Solution :
a) \( f(x) = ax + b \)
Système: \( 2a + b = 5 \) et \( -a + b = -1 \)
Solution: \( a = 2 \), \( b = 1 \)
Donc \( f(x) = 2x + 1 \)
b) Droite passant par (2,5) et (-1,-1)
c) \( 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \)
Exercice 5 : Problème concret
Un technicien est payé selon le barème suivant :
- Forfait de 200 DH pour les 8 premières heures
- 20 DH par heure supplémentaire
- Exprimer le salaire S(x) en fonction du nombre d’heures x
- Calculer S(6), S(8) et S(12)
- Tracer la représentation graphique
Solution :
a) \( S(x) = \begin{cases}
200 & \text{si } x \leq 8 \\
200 + 20(x – 8) & \text{si } x > 8
\end{cases} \)
b)
\( S(6) = 200 \) DH
\( S(8) = 200 \) DH
\( S(12) = 280 \) DH
Exercice 6 : Fonction valeur absolue
Soit \( f(x) = |x – 2| + 1 \).
- Écrire f(x) sans valeur absolue
- Tracer sa représentation graphique
- Résoudre \( f(x) = 3 \)
Solution :
a) \( f(x) = \begin{cases}
-x + 3 & \text{si } x \leq 2 \\
x – 1 & \text{si } x > 2
\end{cases} \)
b) Deux demi-droites formant un V en (2,1)
c) Solutions: \( x = 0 \) et \( x = 4 \)
Exercice 7 : Comparaison de fonctions
Soient \( f(x) = x^2 \) et \( g(x) = 2x \).
- Tracer les deux fonctions sur même graphique
- Déterminer leurs points d’intersection
- Résoudre \( f(x) \geq g(x) \)
Solution :
a) Parabole et droite passant par l’origine
b) \( x^2 = 2x \Rightarrow x = 0 \) ou \( x = 2 \)
c) \( x \leq 0 \) ou \( x \geq 2 \)
Exercice 8 : Problème d’optimisation
Un terrain rectangulaire doit être clôturé sur trois côtés (le quatrième étant un mur).
On dispose de 100 m de clôture. Exprimer l’aire A(x) en fonction de la longueur x du côté parallèle au mur.
- Déterminer le domaine de définition de A
- Trouver les dimensions pour une aire maximale
- Calculer cette aire maximale
Solution :
a) \( A(x) = x \times \frac{100 – x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 50x \)
Domaine: \( x \in ]0, 100[ \)
b) Maximum atteint en \( x = 50 \) m
Dimensions: 50 m × 25 m
c) Aire maximale: 1250 m²
Exercice 9 : Fonction rationnelle
Soit \( f(x) = \frac{x + 1}{x – 2} \).
- Déterminer son domaine de définition
- Étudier ses variations
- Déterminer ses asymptotes
Solution :
a) \( x \neq 2 \)
b) Dérivée: \( f'(x) = \frac{-3}{(x – 2)^2} \) (toujours négative)
Fonction strictement décroissante
c) Asymptote verticale: \( x = 2 \)
Asymptote horizontale: \( y = 1 \)
Exercice 10 : Synthèse
Soit \( f(x) = \begin{cases}
x^2 & \text{si } x \leq 1 \\
2x – 1 & \text{si } x > 1
\end{cases} \)
- Étudier la continuité en x=1
- Tracer la courbe représentative
- Résoudre \( f(x) = 1 \)
Solution :
a) Continue en 1 car \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \)
b) Parabole à gauche de 1, droite à droite de 1
c) Solutions: \( x = -1 \), \( x = 1 \) et \( x = 1 \) (double)
