Exercices : Décroissance Radioactive
2ème BAC Sciences Mathématiques A
Exercice 1 : Calcul de constante radioactive
Un isotope a une demi-vie de 30 minutes. Calculez sa constante radioactive λ (en s-1).
Conversion et calcul :
\[ t_{1/2} = 30 \times 60 = 1800 \, \text{s} \] \[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{1800} \] \[ \lambda \approx \boxed{3.85 \times 10^{-4} \, \text{s}^{-1}} \]Exercice 2 : Loi de décroissance
Un échantillon contient initialement 1020 noyaux. Si λ = 2×10-3 s-1, combien reste-t-il de noyaux après 10 minutes ?
Application de la loi exponentielle :
\[ t = 10 \times 60 = 600 \, \text{s} \] \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} = 10^{20} e^{-2 \times 10^{-3} \times 600} \] \[ N(t) = 10^{20} e^{-1.2} \approx \boxed{3.01 \times 10^{19} \, \text{noyaux}} \]Exercice 3 : Activité radioactive
Un échantillon a une activité initiale de 400 Bq et une demi-vie de 8 jours. Quelle sera son activité après 24 jours ?
Méthode 1 : Par demi-vies
\[ 24 \, \text{jours} = 3 \times t_{1/2} \] \[ A = A_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 400 \times \frac{1}{8} = \boxed{50 \, \text{Bq}} \]Méthode 2 : Par la loi exponentielle
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{8} \approx 0.0866 \, \text{jour}^{-1} \] \[ A(t) = 400 \times e^{-0.0866 \times 24} \approx 50 \, \text{Bq} \]Exercice 4 : Désintégration α
L’uranium 238 (238U) se désintègre en thorium 234 (234Th) par émission α. Écrivez l’équation de cette réaction.
Équation équilibrée :
\[ ^{238}_{92}\text{U} \rightarrow ^{234}_{90}\text{Th} + ^{4}_{2}\text{He} \]Exercice 5 : Datation au carbone 14
Un échantillon archéologique contient 12.5% du 14C initial. Calculez son âge (t1/2 = 5730 ans).
Méthode par demi-vies :
\[ \frac{N}{N_0} = 12.5\% = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \] \[ t = 3 \times t_{1/2} = 3 \times 5730 = \boxed{17190 \, \text{ans}} \]Méthode exponentielle :
\[ t = \frac{t_{1/2}}{\ln(2)} \ln\left(\frac{N_0}{N}\right) \] \[ t = \frac{5730}{0.693} \ln\left(\frac{100}{12.5}\right) \approx 17190 \, \text{ans} \]Exercice 6 : Temps de demi-vie graphique
Déterminez graphiquement la demi-vie à partir de cette courbe de décroissance :
Méthode :
- Repérer N₀ sur l’axe y (ici N₀ ≈ 130 unités)
- Tracer N₀/2 ≈ 65 unités
- Déterminer l’abscisse correspondante
Sur cette courbe, on lit approximativement :
\[ t_{1/2} \approx \boxed{100 \, \text{unités de temps}} \]Exercice 7 : Désintégration β+
Le fluor 18 (18F) se désintègre en oxygène 18 par émission β+. Écrivez l’équation et identifiez le positron.
Équation équilibrée :
\[ ^{18}_{9}\text{F} \rightarrow ^{18}_{8}\text{O} + ^{0}_{1}e^+ + \nu_e \]Le positron est : \( ^{0}_{1}e^+ \)
Exercice 8 : Activité massique
Le phosphore 32 (t1/2=14.3 jours) a une activité de 4000 Bq. Quelle masse cela représente-t-il ? (M=32 g/mol)
Étapes de calcul :
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{14.3 \times 86400} \approx 5.61 \times 10^{-7} \, \text{s}^{-1} \] \[ N = \frac{A}{\lambda} = \frac{4000}{5.61 \times 10^{-7}} \approx 7.13 \times 10^9 \, \text{noyaux} \] \[ m = \frac{N \times M}{N_A} = \frac{7.13 \times 10^9 \times 32}{6.02 \times 10^{23}} \] \[ m \approx \boxed{3.79 \times 10^{-13} \, \text{g}} \]Exercice 9 : Sécurité radiologique
Un technicien travaille avec une source de 1000 Bq pendant 2 heures. Calculer la dose reçue à 1 m (D = 1.5×10-7 Sv/h par Bq à 1m).
Calcul de la dose :
\[ \text{Dose} = A \times t \times D \] \[ = 1000 \times 2 \times 1.5 \times 10^{-7} \] \[ = \boxed{3 \times 10^{-4} \, \text{Sv}} \, (0.3 \, \text{mSv}) \]À comparer à la limite annuelle pour le public (1 mSv/an).
Exercice 10 : Synthèse (BAC)
Un échantillon contient initialement 2×1018 noyaux d’un isotope (t1/2=8 h).
- Calculez λ en s-1
- Déterminez le nombre de noyaux après 1 jour
- Calculez l’activité initiale et après 24 h
a) Constante radioactive :
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{8 \times 3600} \approx \boxed{2.41 \times 10^{-5} \, \text{s}^{-1}} \]b) Noyaux restants :
\[ t = 24 \, \text{h} = 3 \times t_{1/2} \] \[ N = N_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{2 \times 10^{18}}{8} = \boxed{2.5 \times 10^{17} \, \text{noyaux}} \]c) Activité :
\[ A_0 = \lambda N_0 \approx 4.82 \times 10^{13} \, \text{Bq} \] \[ A(24\, \text{h}) = \frac{A_0}{8} \approx \boxed{6.03 \times 10^{12} \, \text{Bq}} \]
Pingback: مادة الفيزياء شعبة العلوم الرياضية ـأـ السنة الثانية بكالوريا 2Bac SMA – موقع التعليم الرائد