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Exercices de Probabilités 2ème BAC Sciences Mathématiques B

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Exercices de Probabilités 2ème BAC Sciences Mathématiques B
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Exercices de Probabilités
2ème BAC Sciences Mathématiques

Exercice 1 : Probabilité Élémentaire

On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Calculer la probabilité que :

  1. La somme des faces soit égale à 7
  2. Les deux faces soient identiques (double)
  1. Combien y a-t-il de cas possibles lorsqu’on lance deux dés ?
  2. Pourquoi la somme 7 est-elle la plus probable ?
  3. Quelle est la probabilité d’obtenir un double 6 ?
  4. Les événements “somme = 7” et “double” sont-ils disjoints ?
  5. Quelle est la probabilité d’obtenir une somme paire ?

a) Somme égale à 7 :

Cas favorables : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cas

P = 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667

b) Doubles :

Cas favorables : 6 (un pour chaque face)

P = 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667

Dé 1 Dé 2 36 cas possibles

Solutions des questions :

  1. Il y a 6 × 6 = 36 cas possibles, car chaque dé a 6 faces indépendantes.
  2. La somme 7 a 6 combinaisons possibles, ce qui est le maximum parmi toutes les sommes (de 2 à 12).
  3. La probabilité d’un double 6 est 1/36, car il n’y a qu’un seul cas favorable sur 36 possibles.
  4. Oui, ils sont disjoints car on ne peut pas avoir à la fois une somme de 7 et deux faces identiques (2x = 7 n’a pas de solution entière).
  5. Il y a 18 cas favorables pour une somme paire (sommes 2, 4, 6, 8, 10, 12), donc P = 18/36 = 1/2.

Exercice 2 : Probabilité Conditionnelle

Dans une classe de 30 élèves :

  • 18 étudient les mathématiques
  • 12 étudient la physique
  • 8 étudient les deux matières

Quelle est la probabilité qu’un élève étudie la physique sachant qu’il étudie les mathématiques ?

  1. Qu’est-ce qu’une probabilité conditionnelle ?
  2. Combien d’élèves étudient seulement les mathématiques ?
  3. Combien d’élèves n’étudient ni les maths ni la physique ?
  4. Pourquoi utilise-t-on la formule P(B|A) = P(A∩B)/P(A) ?
  5. Quelle est la probabilité qu’un élève étudie les maths sachant qu’il étudie la physique ?

P(Physique|Maths) = P(Physique ∩ Maths) / P(Maths)

= (8/30) / (18/30) = 8/18 ≈ 0.444

10 8 4 8

Solutions des questions :

  1. La probabilité conditionnelle P(B|A) est la probabilité de B sachant que A s’est réalisé.
  2. 18 – 8 = 10 élèves étudient seulement les mathématiques.
  3. 30 – (10 + 8 + 4) = 8 élèves n’étudient ni les maths ni la physique.
  4. Parce que dans l’univers restreint où A est réalisé, on ne considère que les cas où A∩B se produit.
  5. P(Maths|Physique) = (8/30)/(12/30) = 8/12 = 2/3 ≈ 0.667.

Exercice 3 : Indépendance

On considère deux événements A et B tels que :

  • P(A) = 0.4
  • P(B) = 0.5
  • P(A∪B) = 0.7

Les événements A et B sont-ils indépendants ?

  1. Qu’est-ce que deux événements indépendants ?
  2. Pourquoi utilise-t-on la formule P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ?
  3. Que signifie P(A∩B) = P(A)×P(B) géométriquement ?
  4. Si A et B étaient incompatibles, quelle serait P(A∪B) ?
  5. Pourquoi l’indépendance n’implique pas l’incompatibilité ?

On calcule P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A∪B) = 0.4 + 0.5 – 0.7 = 0.2

P(A)×P(B) = 0.4×0.5 = 0.2

P(A∩B) = P(A)×P(B) ⇒ Les événements sont indépendants

Solutions des questions :

  1. Deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.
  2. Parce que quand on additionne P(A) et P(B), on compte deux fois l’intersection, donc on doit la soustraire une fois.
  3. Cela signifie que la probabilité de l’intersection est égale au produit des probabilités, ce qui correspond à une “proportion” constante.
  4. Si A et B étaient incompatibles, P(A∩B) = 0, donc P(A∪B) = 0.4 + 0.5 = 0.9.
  5. Parce que des événements indépendants peuvent se produire simultanément (P(A∩B) > 0), tandis que des événements incompatibles ne le peuvent pas.

Exercice 4 : Loi Binomiale

Une usine produit des pièces avec un taux de défaut de 5%. On prélève 20 pièces au hasard.

Calculer la probabilité d’avoir exactement 3 pièces défectueuses.

  1. Pourquoi utilise-t-on la loi binomiale ici ?
  2. Quelles sont les conditions pour appliquer la loi binomiale ?
  3. Que représente le coefficient binomial C203 ?
  4. Pourquoi multiplie-t-on par (0.05)3(0.95)17 ?
  5. Quelle est la probabilité d’avoir au moins une pièce défectueuse ?

X ∼ B(n=20, p=0.05)

P(X=3) = C203 (0.05)3 (0.95)17

= 1140 × 0.000125 × 0.418 ≈ 0.0596

OK OK Défaut OK OK 3 défauts parmi 20

Solutions des questions :

  1. Parce qu’on a une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes avec deux issues (défectueuse ou non).
  2. Les conditions sont : épreuves identiques et indépendantes, deux issues possibles, probabilité constante de succès.
  3. C203 représente le nombre de façons de choisir 3 pièces défectueuses parmi 20.
  4. Parce qu’on veut exactement 3 succès (probabilité 0.053) et 17 échecs (probabilité 0.9517).
  5. P(X ≥ 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – (0.95)20 ≈ 1 – 0.358 = 0.642.

Exercice 5 : Variable Aléatoire

On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par :

xi -1 0 1 2
P(X=xi) 0.2 0.3 0.4 0.1

Calculer E(X) et V(X).

  1. Qu’est-ce que l’espérance mathématique ?
  2. Pourquoi calcule-t-on E(X²) pour trouver la variance ?
  3. Que représente la variance d’une variable aléatoire ?
  4. Comment interpréter l’espérance E(X) = 0.4 dans ce contexte ?
  5. Quel est l’écart-type de X ?

Espérance :

E(X) = (-1)×0.2 + 0×0.3 + 1×0.4 + 2×0.1 = 0.4

Variance :

E(X²) = (-1)²×0.2 + 0²×0.3 + 1²×0.4 + 2²×0.1 = 0.2 + 0 + 0.4 + 0.4 = 1

V(X) = E(X²) – [E(X)]² = 1 – 0.16 = 0.84

Solutions des questions :

  1. L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs possibles, pondérée par leurs probabilités.
  2. Parce que la formule de la variance est V(X) = E[(X – E(X))²] = E(X²) – [E(X)]².
  3. La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l’espérance.
  4. En moyenne, la variable X prend la valeur 0.4, ce qui signifie qu’elle est légèrement positive.
  5. L’écart-type est σ(X) = √V(X) = √0.84 ≈ 0.917.

Exercice 6 : Loi Uniforme

On choisit au hasard un nombre entier entre 10 et 20 (inclus).

Calculer la probabilité que ce nombre soit :

  1. Pair
  2. Divisible par 3
  3. Premier
  1. Pourquoi cette loi est-elle uniforme ?
  2. Combien y a-t-il de nombres entiers entre 10 et 20 inclus ?
  3. Pourquoi 1 n’est-il pas considéré comme premier ?
  4. Quelle est la probabilité que le nombre soit impair ?
  5. Les événements “pair” et “divisible par 3” sont-ils indépendants ?

Nombre total de cas : 20 – 10 + 1 = 11

a) Nombres pairs : 10, 12, 14, 16, 18, 20 → 6 cas

P = 6/11 ≈ 0.545

b) Divisible par 3 : 12, 15, 18 → 3 cas

P = 3/11 ≈ 0.273

c) Nombres premiers : 11, 13, 17, 19 → 4 cas

P = 4/11 ≈ 0.364

Solutions des questions :

  1. Parce que chaque nombre a la même probabilité d’être choisi (1/11).
  2. Il y a 11 nombres : 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.
  3. Par définition, un nombre premier a exactement deux diviseurs distincts, mais 1 n’a qu’un seul diviseur.
  4. Il y a 5 nombres impairs (11, 13, 15, 17, 19), donc P = 5/11 ≈ 0.455.
  5. Non, car P(pair ∩ divisible par 3) = P({12,18}) = 2/11, tandis que P(pair)×P(divisible par 3) = (6/11)×(3/11) = 18/121 ≠ 2/11.

Exercice 7 : Probabilités Total

Une usine possède deux machines A et B produisant respectivement 60% et 40% de la production totale.

Les taux de défaut sont de 5% pour A et 3% pour B.

Quelle est la probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit défectueuse ?

  1. Quand utilise-t-on la formule des probabilités totales ?
  2. Pourquoi les événements “pièce de A” et “pièce de B” forment-ils un système complet ?
  3. Quelle est la probabilité qu’une pièce non défectueuse vienne de A ?
  4. Comment représente-t-on cette situation par un arbre de probabilités ?
  5. Pourquoi ne peut-on pas simplement faire la moyenne des taux de défaut ?

Formule des probabilités totales :

P(D) = P(A)×P(D|A) + P(B)×P(D|B)

= 0.6×0.05 + 0.4×0.03 = 0.03 + 0.012 = 0.042

A (60%) B (40%) Défaut

Solutions des questions :

  1. On utilise la formule des probabilités totales quand on peut partitionner l’univers en événements disjoints.
  2. Parce qu’ils sont disjoints (une pièce ne peut pas venir des deux machines) et leur union donne l’univers (toute pièce vient de A ou B).
  3. P(A|non D) = P(A∩non D)/P(non D) = (0.6×0.95)/(1-0.042) = 0.57/0.958 ≈ 0.595.
  4. L’arbre a deux branches principales (A et B), puis chaque branche se divise en “défectueuse” et “non défectueuse”.
  5. Parce que les machines ne produisent pas la même quantité, donc il faut pondérer par leurs proportions de production.

Exercice 8 : Bayes

Reprenons l’exercice 7. Sachant qu’une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la machine A ?

  1. Qu’énonce la formule de Bayes ?
  2. Pourquoi la probabilité est-elle supérieure à 60% ?
  3. Comment interpréter ce résultat intuitivement ?
  4. Quelle serait la probabilité si les taux de défaut étaient égaux ?
  5. Pourquoi la formule de Bayes est-elle utile en pratique ?

Formule de Bayes :

P(A|D) = P(A∩D) / P(D) = (0.6×0.05) / 0.042 ≈ 0.714

≈ 71.4% de chances qu’elle vienne de A

Solutions des questions :

  1. La formule de Bayes permet de calculer P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = P(B|A)P(A)/P(B).
  2. Parce que la machine A a un taux de défaut plus élevé (5% vs 3%), donc les pièces défectueuses sont plus susceptibles de venir de A.
  3. Même si A produit 60% des pièces, elle produit proportionnellement plus de pièces défectueuses, donc parmi les défectueuses, elle est sur-représentée.
  4. Si les taux de défaut étaient égaux, alors P(A|D) = P(A) = 60%, car la qualité n’influencerait pas l’origine.
  5. Elle permet de “remonter” les causes à partir des effets observés, très utile en diagnostic, en intelligence artificielle, etc.

Exercice 9 : Combinaison de Lois

Un joueur lance une pièce équilibrée 3 fois. Soit X le nombre de piles obtenus.

  1. Déterminer la loi de probabilité de X
  2. Calculer E(X) et σ(X)
  1. Pourquoi X suit-elle une loi binomiale ?
  2. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins 2 piles ?
  3. Pourquoi E(X) = 1.5 alors qu’on ne peut pas obtenir 1.5 pile ?
  4. Comment calculer la variance sans utiliser la formule directe ?
  5. Quelle est la médiane de cette distribution ?

a) Loi de X (Binomiale B(3, 0.5)) :

k 0 1 2 3
P(X=k) 1/8 3/8 3/8 1/8

b) Calculs :

E(X) = n×p = 3×0.5 = 1.5

σ(X) = √(n×p×(1-p)) = √0.75 ≈ 0.866

Solutions des questions :

  1. Parce qu’on a 3 épreuves de Bernoulli indépendantes avec p = 0.5 (pile = succès).
  2. P(X ≥ 2) = P(X=2) + P(X=3) = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 0.5.
  3. L’espérance est une moyenne théorique sur un grand nombre d’expériences, pas une valeur observable dans une seule expérience.
  4. En calculant E(X²) = 0²×1/8 + 1²×3/8 + 2²×3/8 + 3²×1/8 = 0 + 3/8 + 12/8 + 9/8 = 24/8 = 3, puis V(X) = 3 – (1.5)² = 0.75.
  5. La médiane est 1 ou 2, car P(X ≤ 1) = 4/8 = 0.5 et P(X ≥ 2) = 4/8 = 0.5.

Exercice 10 : Problème Synthèse

Un examen comporte 10 QCM indépendants. Chaque question a 4 réponses dont une seule correcte.

Un étudiant répond au hasard. Soit X le nombre de bonnes réponses.

  1. Quelle est la loi de X ? Préciser ses paramètres
  2. Calculer P(X ≥ 5)
  3. Quel est le nombre minimum de réponses correctes pour être dans les 10% meilleurs ?
  1. Pourquoi X suit-elle une loi binomiale ?
  2. Quelle est l’espérance de X ? Que signifie-t-elle ?
  3. Pourquoi P(X ≥ 5) est-elle relativement faible ?
  4. Comment approximer cette loi par une loi normale ?
  5. Quelle est la probabilité de tout répondre correctement ?

a) Loi Binomiale B(n=10, p=0.25)

b) P(X ≥ 5) :

= 1 – P(X ≤ 4) ≈ 1 – 0.9219 = 0.0781

c) Seuil des 10% :

On cherche k tel que P(X ≥ k) ≤ 0.10

P(X ≥ 5) ≈ 0.078 (7.8%) et P(X ≥ 4) ≈ 0.224 (22.4%)

Il faut donc au moins 5 bonnes réponses

Solutions des questions :

  1. Parce qu’on a 10 épreuves de Bernoulli indépendantes avec probabilité de succès p = 1/4 = 0.25.
  2. E(X) = 10×0.25 = 2.5, ce qui signifie qu’en moyenne, un étudiant aura 2.5 bonnes réponses en répondant au hasard.
  3. Parce que la probabilité de succès est faible (25%), donc il est difficile d’obtenir 5 succès ou plus sur 10 essais.
  4. Par la loi normale N(μ=2.5, σ²=1.875) avec correction de continuité, mais n=10 est un peu petit pour une bonne approximation.
  5. P(X=10) = (0.25)10 ≈ 9.54×10-7, soit environ 1 chance sur 1 million.

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