Exercices de Probabilités
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Probabilité Élémentaire
On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Calculer la probabilité que :
- La somme des faces soit égale à 7
- Les deux faces soient identiques (double)
a) Somme égale à 7 :
Cas favorables : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cas
P = 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667
b) Doubles :
Cas favorables : 6 (un pour chaque face)
P = 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667
Exercice 2 : Probabilité Conditionnelle
Dans une classe de 30 élèves :
- 18 étudient les mathématiques
- 12 étudient la physique
- 8 étudient les deux matières
Quelle est la probabilité qu’un élève étudie la physique sachant qu’il étudie les mathématiques ?
P(Physique|Maths) = P(Physique ∩ Maths) / P(Maths)
= (8/30) / (18/30) = 8/18 ≈ 0.444
Exercice 3 : Indépendance
On considère deux événements A et B tels que :
- P(A) = 0.4
- P(B) = 0.5
- P(A∪B) = 0.7
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
On calcule P(A∩B) = P(A) + P(B) – P(A∪B) = 0.4 + 0.5 – 0.7 = 0.2
P(A)×P(B) = 0.4×0.5 = 0.2
P(A∩B) = P(A)×P(B) ⇒ Les événements sont indépendants
Exercice 4 : Loi Binomiale
Une usine produit des pièces avec un taux de défaut de 5%. On prélève 20 pièces au hasard.
Calculer la probabilité d’avoir exactement 3 pièces défectueuses.
X ∼ B(n=20, p=0.05)
P(X=3) = C203 (0.05)3 (0.95)17
= 1140 × 0.000125 × 0.418 ≈ 0.0596
Exercice 5 : Variable Aléatoire
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par :
| xi | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=xi) | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1 |
Calculer E(X) et V(X).
Espérance :
E(X) = (-1)×0.2 + 0×0.3 + 1×0.4 + 2×0.1 = 0.4
Variance :
E(X²) = (-1)²×0.2 + 0²×0.3 + 1²×0.4 + 2²×0.1 = 0.2 + 0 + 0.4 + 0.4 = 1
V(X) = E(X²) – [E(X)]² = 1 – 0.16 = 0.84
Exercice 6 : Loi Uniforme
On choisit au hasard un nombre entier entre 10 et 20 (inclus).
Calculer la probabilité que ce nombre soit :
- Pair
- Divisible par 3
- Premier
Nombre total de cas : 20 – 10 + 1 = 11
a) Nombres pairs : 10, 12, 14, 16, 18, 20 → 6 cas
P = 6/11 ≈ 0.545
b) Divisible par 3 : 12, 15, 18 → 3 cas
P = 3/11 ≈ 0.273
c) Nombres premiers : 11, 13, 17, 19 → 4 cas
P = 4/11 ≈ 0.364
Exercice 7 : Probabilités Total
Une usine possède deux machines A et B produisant respectivement 60% et 40% de la production totale.
Les taux de défaut sont de 5% pour A et 3% pour B.
Quelle est la probabilité qu’une pièce choisie au hasard soit défectueuse ?
Formule des probabilités totales :
P(D) = P(A)×P(D|A) + P(B)×P(D|B)
= 0.6×0.05 + 0.4×0.03 = 0.03 + 0.012 = 0.042
Exercice 8 : Bayes
Reprenons l’exercice 7. Sachant qu’une pièce est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne de la machine A ?
Formule de Bayes :
P(A|D) = P(A∩D) / P(D) = (0.6×0.05) / 0.042 ≈ 0.714
≈ 71.4% de chances qu’elle vienne de A
Exercice 9 : Combinaison de Lois
Un joueur lance une pièce équilibrée 3 fois. Soit X le nombre de piles obtenus.
- Déterminer la loi de probabilité de X
- Calculer E(X) et σ(X)
a) Loi de X (Binomiale B(3, 0.5)) :
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=k) | 1/8 | 3/8 | 3/8 | 1/8 |
b) Calculs :
E(X) = n×p = 3×0.5 = 1.5
σ(X) = √(n×p×(1-p)) = √0.75 ≈ 0.866
Exercice 10 : Problème Synthèse
Un examen comporte 10 QCM indépendants. Chaque question a 4 réponses dont une seule correcte.
Un étudiant répond au hasard. Soit X le nombre de bonnes réponses.
- Quelle est la loi de X ? Préciser ses paramètres
- Calculer P(X ≥ 5)
- Quel est le nombre minimum de réponses correctes pour être dans les 10% meilleurs ?
a) Loi Binomiale B(n=10, p=0.25)
b) P(X ≥ 5) :
= 1 – P(X ≤ 4) ≈ 1 – 0.9219 = 0.0781
c) Seuil des 10% :
On cherche k tel que P(X ≥ k) ≤ 0.10
P(X ≥ 5) ≈ 0.078 (7.8%) et P(X ≥ 4) ≈ 0.224 (22.4%)
Il faut donc au moins 5 bonnes réponses
