10 Exercices de Géométrie dans l’Espace
2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques (STM)
Exercice 1 : Produit scalaire
Calculer le produit scalaire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec \(\vec{u}(2,-1,3)\) et \(\vec{v}(1,4,-2)\).
Solution :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (2×1) + (-1×4) + (3×-2) = 2 – 4 – 6 = -8\)
Exercice 2 : Orthogonalité
Montrer que \(\vec{a}(1,2,-1)\) et \(\vec{b}(2,-1,0)\) sont orthogonaux.
Solution :
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1×2) + (2×-1) + (-1×0) = 2 – 2 + 0 = 0\)
Le produit scalaire est nul ⇒ les vecteurs sont orthogonaux.
Exercice 3 : Produit vectoriel
Calculer \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) avec \(\vec{u}(1,0,2)\) et \(\vec{v}(3,1,-1)\).
Solution :
\[
\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 0 & 2 \\
3 & 1 & -1 \\
\end{vmatrix} = (-2,7,1)
\]
Exercice 4 : Aire d’un triangle
Calculer l’aire du triangle ABC avec A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
Solution :
- \(\overrightarrow{AB} = (-1,2,0)\) et \(\overrightarrow{AC} = (-1,0,3)\)
- \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (6,3,2)\)
- Aire = \(\frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\| = \frac{1}{2} \sqrt{36+9+4} = \frac{7}{2}\)
Exercice 5 : Vecteur normal
Déterminer un vecteur normal au plan passant par A(1,1,1), B(2,0,1), C(1,2,0).
Solution :
- \(\overrightarrow{AB} = (1,-1,0)\) et \(\overrightarrow{AC} = (0,1,-1)\)
- \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1,1,1)\)
Exercice 6 : Équation de plan
Déterminer l’équation du plan passant par A(1,0,-1) de vecteur normal \(\vec{n}(2,-1,3)\).
Solution :
Équation : \(2(x-1) -1(y-0) +3(z+1) = 0\)
Soit : \(2x – y + 3z + 1 = 0\)
Exercice 7 : Distance point-plan
Calculer la distance du point P(2,1,-1) au plan d’équation \(x – 2y + 2z – 3 = 0\).
Solution :
\[d = \frac{|1×2 – 2×1 + 2×(-1) – 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{5}{3}\]
Exercice 8 : Volume d’un parallélépipède
Calculer le volume du parallélépipède formé par \(\vec{u}(1,0,2)\), \(\vec{v}(1,1,0)\) et \(\vec{w}(0,2,1)\).
Solution :
Volume = \(|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]| = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \wedge \vec{w})| = 5\)
Exercice 9 : Projection orthogonale
Déterminer la projection orthogonale de \(\vec{u}(2,3,1)\) sur \(\vec{v}(1,1,1)\).
Solution :
\[
\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \left( \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2} \right) \vec{v} = \frac{6}{3}(1,1,1) = (2,2,2)
\]
Exercice 10 : Applications physiques
Un force \(\vec{F}(3,2,-1)\) s’applique à un point se déplaçant selon \(\vec{d}(2,1,4)\). Calculer le travail W.
Solution :
\[
W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (3×2) + (2×1) + (-1×4) = 6 + 2 – 4 = 4 \text{ J}
\]
