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Exercices de Dérivation et Étude des Fonctions 2ème BAC Sciences Mathématiques A

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Exercices de Dérivation et Étude des Fonctions 2ème BAC Sciences Mathématiques A

Dérivation et Étude des Fonctions
2ème BAC Sciences Mathématiques

Exercice 1 : Dérivées usuelles

Calculer les dérivées :

  1. \( f(x) = 5x^4 – 3x^3 + 2x – 7 \)
  2. \( g(x) = \sqrt{3x + 2} \)
  3. \( h(x) = \frac{2x – 1}{x^2 + 1} \)
  1. \( f'(x) = 20x^3 – 9x^2 + 2 \)
  2. \( g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} \)
  3. \( h'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – (2x – 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2} \)

Exercice 2 : Tangente et position

Pour \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \) :

  1. Déterminer l’équation de la tangente en \(x=1\)
  2. Étudier la position relative courbe/tangente
  1. \( f'(x) = 3x^2 – 6x \), donc \( f'(1) = -3 \), \( f(1) = 0 \)
    Tangente : \( y = -3(x – 1) \)
  2. \( f(x) – (-3x + 3) = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = (x – 1)^3 \)
    La courbe est au-dessus si \(x > 1\), en dessous sinon.

Exercice 3 : Théorème de Rolle

Soit \( f(x) = x^3 – 4x \) sur \([-2, 2]\) :

  1. Vérifier les hypothèses du théorème
  2. Trouver \( c \in ]-2, 2[ \) tel que \( f'(c) = 0 \)
  1. \( f \) est continue et dérivable (polynôme), \( f(-2) = f(2) = 0 \) ⇒ conditions vérifiées.
  2. \( f'(x) = 3x^2 – 4 \), donc \( f'(c) = 0 \Rightarrow c = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \)

Exercice 4 : TAF (Théorème des Accroissements Finis)

Pour \( f(x) = \ln(x) \) sur \([1, e]\) :

  1. Appliquer le TAF
  2. Trouver \( c \) vérifiant la conclusion
  1. \( f \) continue sur \([1,e]\), dérivable sur \(]1,e[\) ⇒ TAF applicable.
  2. \( \frac{f(e)-f(1)}{e-1} = \frac{1}{e-1} \), \( f'(c) = \frac{1}{c} \) ⇒ \( c = e – 1 \)

Exercice 5 : Variations

Pour \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x} \) :

  1. Déterminer \( D_f \)
  2. Étudier les variations
  1. \( D_f = \mathbb{R}^* \) (tous les réels sauf 0)
  2. \( f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} > 0 \) sur \( \mathbb{R}^* \) ⇒ strictement croissante sur \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\)

Exercice 6 : Extremums

Pour \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x \) :

  1. Calculer \( f'(x) \)
  2. Déterminer les extremums
  1. \( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) \)
  2. Maximum local en \(x=1\) (\(f(1)=4\)), minimum local en \(x=3\) (\(f(3)=0\))

Exercice 7 : Dérivée logarithmique

Pour \( f(x) = x^x \) (\(x > 0\)) :

  1. Utiliser la dérivée logarithmique
  2. Calculer \( f'(x) \)
  1. \( \ln(f(x)) = x\ln(x) \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + 1 \)
  2. \( f'(x) = x^x (\ln(x) + 1) \)

Exercice 8 : Étude complète

Pour \( f(x) = \frac{x^2}{x – 1} \) :

  1. Domaine et limites
  2. Variations et extremums
  1. \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
    \(\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty\), \(\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty\)
    \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\)
  2. \( f'(x) = \frac{x(x – 2)}{(x – 1)^2} \), signe étudié :
    Minimum local en \(x=2\), \(f(2) = 4\)

Exercice 9 : Exponentielle

Pour \( f(x) = e^{-x^2} \) :

  1. Calculer \( f'(x) \)
  2. Étudier la convexité
  1. \( f'(x) = -2x e^{-x^2} \)
  2. \( f”(x) = (4x^2 – 2)e^{-x^2} \)
    Convexe sur \(]-\infty, -\frac{1}{\sqrt{2}}[ \cup ]\frac{1}{\sqrt{2}}, +\infty[\)
    Concave entre les deux.

Exercice 10 : Optimisation

Un rectangle a un périmètre de 20 cm :

  1. Exprimer l’aire \( A \) en fonction d’un côté \( x \)
  2. Trouver les dimensions pour \( A \) maximale
  1. Soit \( x \) un côté, alors l’autre est \( 10 – x \). Donc \( A(x) = x(10 – x) = 10x – x^2 \)
  2. \( A'(x) = 10 – 2x \), s’annule en \( x = 5 \)
    Maximum : carré de 5 cm × 5 cm, aire = 25 cm².
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