Exercices de Dénombrement et Probabilités
2ème BAC SPC
Exercice 1 : Dénombrement de codes
Un cadenas a un code à 3 chiffres (de 0 à 9). Combien de codes possibles existe-t-il si :
- Les chiffres peuvent se répéter
- Les chiffres doivent être différents
a) Avec répétition : \( 10 \times 10 \times 10 = \boxed{1000} \)
b) Sans répétition : \( 10 \times 9 \times 8 = \boxed{720} \)
Exercice 2 : Arrangements
Combien de podiums possibles (1er, 2ème, 3ème) peut-on former avec 8 athlètes ?
Nombre d’arrangements de 3 parmi 8 :
\[ A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = \boxed{336} \]Exercice 3 : Combinaisons
Un laboratoire dispose de 10 produits chimiques. Combien de mélanges différents peut-on faire en prenant :
- Exactement 3 produits
- Entre 2 et 4 produits
a) Combinaisons de 3 parmi 10 :
\[ C_{10}^3 = \frac{10!}{3!7!} = \boxed{120} \]b) Somme des combinaisons :
\[ C_{10}^2 + C_{10}^3 + C_{10}^4 = 45 + 120 + 210 = \boxed{375} \]Exercice 4 : Probabilité simple
On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité que :
- La somme soit 7
- Les deux nombres soient pairs
Nombre total de cas : 36
a) Cas favorables (1-6, 2-5, …, 6-1) : 6
\[ P = \frac{6}{36} = \boxed{\frac{1}{6}} \]b) Cas favorables (2,4,6 sur chaque dé) : \( 3 \times 3 = 9 \)
\[ P = \frac{9}{36} = \boxed{\frac{1}{4}} \]Exercice 5 : Probabilité conditionnelle
Dans une classe de 30 élèves :
- 18 étudient la physique
- 12 étudient la chimie
- 8 étudient les deux
Quelle est la probabilité qu’un élève étudie la chimie sachant qu’il étudie déjà la physique ?
Probabilité conditionnelle :
\[ P(C|P) = \frac{P(C \cap P)}{P(P)} = \frac{8/30}{18/30} = \boxed{\frac{4}{9}} \]Exercice 6 : Loi binomiale
Une usine produit 5% de pièces défectueuses. On prélève 20 pièces au hasard.
Calculer la probabilité d’avoir exactement 2 pièces défectueuses.
Loi binomiale \( B(n=20, p=0.05) \) :
\[ P(X=2) = C_{20}^2 (0.05)^2 (0.95)^{18} \] \[ \approx \boxed{0.1887} \text{ (18.87%)} \]Exercice 7 : Indépendance
On lance un dé équilibré. Les événements :
- A : “Obtenir un nombre pair”
- B : “Obtenir un multiple de 3”
Sont-ils indépendants ?
Calcul des probabilités :
\[ P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ P(A \cap B) = P(\{6\}) = \frac{1}{6} \]Vérification :
\[ P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} = P(A \cap B) \]Conclusion : Les événements sont indépendants
Exercice 8 : Physique nucléaire
Un échantillon radioactif a une probabilité 0.2 de se désintégrer en 1 heure.
Quelle est la probabilité que sur 10 noyaux, au moins 8 restent intacts après 1 heure ?
Loi binomiale \( B(n=10, p=0.8) \) (probabilité de rester intact) :
\[ P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) \] \[ = C_{10}^8 (0.8)^8 (0.2)^2 + C_{10}^9 (0.8)^9 (0.2)^1 + C_{10}^{10} (0.8)^{10} \] \[ \approx \boxed{0.6778} \text{ (67.78%)} \]Exercice 9 : Chimie statistique
On répartit 4 molécules identiques dans 2 compartiments. Combien de configurations possibles existe-t-il si :
- Les molécules sont discernables
- Les molécules sont indiscernables
a) Molécules discernables :
\[ 2^4 = \boxed{16} \text{ configurations} \]b) Molécules indiscernables :
\[ \text{Nombre de molécules dans le 1er compartiment : } 0,1,2,3,4 \] \[ \boxed{5} \text{ configurations} \]Exercice 10 : Synthèse
Un laboratoire teste 15 composants. Chaque test a 30% de chance de détecter un défaut.
- Calculer la probabilité de détecter exactement 4 défauts
- Calculer la probabilité de détecter au moins 2 défauts
Loi binomiale \( B(n=15, p=0.3) \) :
a) Probabilité exactement 4 défauts :
\[ P(X=4) = C_{15}^4 (0.3)^4 (0.7)^{11} \approx \boxed{0.2186} \]b) Probabilité au moins 2 défauts :
\[ P(X \geq 2) = 1 – P(X=0) – P(X=1) \] \[ = 1 – (0.7)^{15} – 15 \times 0.3 \times (0.7)^{14} \approx \boxed{0.9647} \]
