Exercices de Calcul Intégral
2ème BAC SPC
Exercice 1 : Calcul simple
Calculer l’intégrale : \[ \int_0^1 (3x^2 + 2x – 1) \, dx \]
On calcule la primitive :
\[ \int (3x^2 + 2x – 1) \, dx = x^3 + x^2 – x + C \]Puis on évalue entre 0 et 1 :
\[ = (1 + 1 – 1) – (0 + 0 – 0) = \boxed{1} \]Exercice 2 : Intégration par parties
Calculer : \[ \int_1^e x \ln x \, dx \]
Choix des fonctions :
\[ u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx \] \[ dv = x dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2} \]Application de la formule :
\[ = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_1^e – \int_1^e \frac{x}{2} dx \] \[ = \frac{e^2}{2} – \left[ \frac{x^2}{4} \right]_1^e = \boxed{\frac{e^2 + 1}{4}} \]Exercice 3 : Changement de variable
Calculer : \[ \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, dx \]
Posons \( u = x^2 + 1 \), donc \( du = 2x dx \) :
\[ = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \left[ 2\sqrt{u} \right]_1^2 \] \[ = \boxed{\sqrt{2} – 1} \]Exercice 4 : Application en cinématique
Un mobile a une accélération \( a(t) = 6t \) m/s². Sachant qu’à t=0, sa vitesse est 2 m/s, trouver la distance parcourue entre t=0 et t=2s.
1. Calcul de la vitesse :
\[ v(t) = \int a(t) dt = 3t^2 + C \] \[ v(0) = 2 \Rightarrow C = 2 \]2. Calcul de la distance :
\[ d = \int_0^2 v(t) dt = \int_0^2 (3t^2 + 2) dt \] \[ = \left[ t^3 + 2t \right]_0^2 = \boxed{12 \text{ mètres}} \]Exercice 5 : Calcul d’aire
Calculer l’aire entre les courbes \( y = x^2 \) et \( y = 2x – x^2 \) sur [0,1].
1. Trouver les points d’intersection :
\[ x^2 = 2x – x^2 \Rightarrow x = 0 \text{ ou } 1 \]2. Calculer l’intégrale :
\[ A = \int_0^1 (2x – 2x^2) dx = \left[ x^2 – \frac{2}{3}x^3 \right]_0^1 \] \[ = \boxed{\frac{1}{3}} \]Exercice 6 : Valeur moyenne
Calculer la valeur moyenne de \( f(x) = \sin x \) sur \( [0, \pi] \).
Formule de la valeur moyenne :
\[ μ = \frac{1}{\pi – 0} \int_0^\pi \sin x \, dx \] \[ = \frac{1}{\pi} \left[ -\cos x \right]_0^\pi = \frac{2}{\pi} \]Exercice 7 : Application en électricité
L’intensité dans un circuit est \( i(t) = 3e^{-t} \) A. Calculer la charge totale entre t=0 et t=2s.
La charge est l’intégrale de l’intensité :
\[ Q = \int_0^2 3e^{-t} dt = 3 \left[ -e^{-t} \right]_0^2 \] \[ = 3(1 – e^{-2}) \]Exercice 8 : Intégrale trigonométrique
Calculer : \[ \int_0^{\pi/2} \sin(2x) \, dx \]
On utilise la primitive :
\[ \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x) + C \]Évaluation :
\[ = -\frac{1}{2}[\cos \pi – \cos 0] = \boxed{1} \]Exercice 9 : Travail d’une force
Une force variable \( F(x) = 2x + 1 \) (N) agit sur un objet. Calculer le travail entre x=0 et x=3 m.
Le travail est l’intégrale de la force :
\[ W = \int_0^3 (2x + 1) dx = \left[ x^2 + x \right]_0^3 \] \[ = \boxed{12 \text{ Joules}} \]Exercice 10 : Synthèse
Soit \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \).
- Simplifier \( f(x) \)
- Calculer \( \int_1^2 f(x) dx \)
- En déduire la valeur moyenne sur [1,2]
a) Simplification :
\[ f(x) = x + \frac{1}{x} \]b) Calcul de l’intégrale :
\[ \int \left(x + \frac{1}{x}\right) dx = \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C \] \[ \int_1^2 = (2 + \ln 2) – (\frac{1}{2} + 0) = \frac{3}{2} + \ln 2 \]c) Valeur moyenne :
\[ μ = \frac{1}{2-1} \left( \frac{3}{2} + \ln 2 \right) = \boxed{\frac{3}{2} + \ln 2} \]
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