Exercices : Calcul vectoriel dans le plan
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Exercice 1 : Notion de vecteur
Soit les points A(2;3), B(5;-1), C(0;4) et D(-3;2).
1. Déterminer les coordonnées des vecteurs AB et CD.
2. Calculer les normes de ces vecteurs.
3. Tracer ces vecteurs dans un repère orthonormé.
Exercice 2 : Opérations sur les vecteurs
Soit u(2;-3), v(-1;4) et w(0;5).
1. Calculer u + v – w.
2. Trouver les coordonnées de 3u – 2v.
3. Déterminer un vecteur x tel que u + x = v.
Exercice 3 : Colinéarité
1. Montrer que u(4;6) et v(10;15) sont colinéaires.
2. Trouver k tel que w(3;-5) soit colinéaire à t(k;15).
3. Les vecteurs a(2;-3) et b(-4;6) sont-ils colinéaires ?
Exercice 4 : Vecteurs et géométrie
Soit ABC un triangle avec A(1;2), B(4;5) et C(2;7).
1. Trouver les coordonnées du vecteur BC.
2. Déterminer les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.
3. Calculer les coordonnées du milieu I de [AC].
Exercice 5 : Applications physiques
Une force F1(3;4) et une force F2(-2;1) s’appliquent sur un objet.
1. Déterminer la force résultante R.
2. Calculer l’intensité de cette résultante.
3. Trouver la force F3 qui équilibrerait le système.
Exercice 6 : Vecteur directeur
1. Trouver un vecteur directeur de la droite passant par A(2;3) et B(5;1).
2. Donner l’équation paramétrique de cette droite.
3. Le point C(8;-1) appartient-il à cette droite ?
Exercice 7 : Problème technologique
Un drone se déplace selon le vecteur v(120;50) (en m/min).
1. Calculer sa vitesse en km/h.
2. Déterminer l’angle α que fait sa trajectoire avec l’horizontale.
3. Trouver le temps nécessaire pour parcourir 1 km.
Exercice 8 : Combinaison linéaire
Soit u(1;2) et v(3;1).
1. Peut-on écrire w(5;4) comme combinaison linéaire de u et v ?
2. Trouver les réels a et b tels que w = au + bv.
3. Que peut-on dire des vecteurs u, v et w ?
Exercice 9 : Problème de navigation
Un bateau se déplace à 15 nœuds vers l’est. Le courant agit avec une force de 5 nœuds vers le nord-est.
1. Représenter les vecteurs vitesse.
2. Calculer la vitesse résultante du bateau.
3. Déterminer l’angle de dérive.
Exercice 10 : Synthèse
Dans un repère orthonormé, on donne A(1;1), B(4;2) et C(2;5).
1. Calculer AB·AC (produit scalaire).
2. Déterminer la mesure de l’angle BAC.
3. Calculer l’aire du triangle ABC.
