10 Exercices sur les Vecteurs et Translations
Exercice 1 : Calcul de coordonnées
Soient les points \( A(2; -1) \) et \( B(5; 3) \).
1. Calculer les coordonnées du vecteur \( \overrightarrow{AB} \).
2. Déterminer les coordonnées du point \( C \) tel que \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OC} \) (où \( O \) est l’origine).
Correction :
1. \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-2 \\ 3-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)
2. \( \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} \Rightarrow C(3; 4) \)
Exercice 2 : Vecteurs égaux
Soient \( A(1; 2) \), \( B(4; 5) \), \( C(0; 1) \) et \( D(3; 4) \).
1. Calculer \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{CD} \).
2. Les vecteurs sont-ils égaux ? Justifier.
Correction :
1. \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \)
2. Oui, car ils ont les mêmes coordonnées (même direction, sens et norme).
Exercice 3 : Translation de figure
On translate le triangle \( ABC \) avec \( A(1;1) \), \( B(3;1) \), \( C(2;3) \) par le vecteur \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \).
Déterminer les coordonnées des sommets du triangle image \( A’B’C’ \).
Correction :
\( A’ = (1+2; 1+(-1)) = (3; 0) \)
\( B’ = (3+2; 1+(-1)) = (5; 0) \)
\( C’ = (2+2; 3+(-1)) = (4; 2) \)
Exercice 4 : Vecteur opposé
Soit \( \overrightarrow{AB} \) avec \( A(2; -3) \) et \( B(-1; 5) \).
1. Calculer \( \overrightarrow{BA} \).
2. Que remarque-t-on par rapport à \( \overrightarrow{AB} \) ?
Correction :
1. \( \overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ -3-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} \)
2. \( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \) : c’est le vecteur opposé.
Exercice 5 : Norme d’un vecteur
Calculer la norme (longueur) des vecteurs suivants :
1. \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)
2. \( \overrightarrow{AB} \) avec \( A(1; 1) \) et \( B(4; 5) \)
Correction :
1. \( \|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)
2. \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \), donc \( \|\overrightarrow{AB}\| = 5 \)
Exercice 6 : Parallélogramme
Soient \( A(1; 2) \), \( B(4; 3) \) et \( C(3; 6) \).
Déterminer les coordonnées de \( D \) tel que \( ABCD \) soit un parallélogramme.
Correction :
Dans un parallélogramme, \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \).
\( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \), donc \( D = C – \overrightarrow{AB} = (3-3; 6-1) = (0; 5) \).
Exercice 7 : Milieu et vecteurs
Soient \( A(2; 4) \) et \( B(6; 8) \).
1. Calculer les coordonnées du milieu \( I \) de \( [AB] \).
2. Montrer que \( \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \).
Correction :
1. \( I\left(\frac{2+6}{2}; \frac{4+8}{2}\right) = (4; 6) \)
2. \( \overrightarrow{AI} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \) et \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \), donc \( \overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \).
Exercice 8 : Composition de translations
On applique successivement :
- Une translation de vecteur \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
- Puis une translation de vecteur \( \vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
1. Quel est le vecteur de la translation résultante ?
2. Quelle est l’image de \( A(0; 0) \) après ces deux translations ?
Correction :
1. \( \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 1+(-3) \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \)
2. \( A” = (0+(-2); 0+3) = (-2; 3) \)
Exercice 9 : Problème de synthèse
Dans un repère, on donne \( A(-1; 2) \), \( B(3; 1) \) et \( C(1; 4) \).
1. Calculer \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \).
2. Déterminer les coordonnées de \( D \) tel que \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \).
Correction :
1. \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \), donc \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \).
2. \( D = A + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = (-1+6; 2+1) = (5; 3) \).
Exercice 10 : Vecteurs colinéaires
Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ?
1. \( \vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \( \vec{v} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} \)
2. \( \overrightarrow{AB} \) avec \( A(1; 1) \), \( B(3; 7) \) et \( \overrightarrow{CD} \) avec \( C(0; 2) \), \( D(1; 5) \)
Correction :
1. Oui, car \( \vec{v} = 2\vec{u} \) (coordonnées proportionnelles).
2. \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \end{pmatrix} \), \( \overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \). Oui, car \( \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{CD} \).
