Espaces Vectoriels 2ème BAC Sciences Mathématiques B

Espaces Vectoriels 2ème BAC Sciences Mathématiques B

Espaces Vectoriels
2ème BAC Sciences Mathématiques

1. Définition et Exemples Fondamentaux

a) Axiomatique

Un espace vectoriel sur ℝ est un ensemble E muni de :
• Une addition interne (u,v) ↦ u + v
• Une multiplication externe (λ,u) ↦ λ·u
vérifiant 8 axiomes (associativité, commutativité, distributivité…)

b) Exemples classiques

n : n-uplets de réels
Mn,p(ℝ) : matrices
ℝ[X] : polynômes
F(ℝ,ℝ) : fonctions réelles

2. Sous-espaces Vectoriels (SEV)

a) Caractérisation

F ⊂ E est un SEV si :
1. 0E ∈ F
2. ∀u,v ∈ F, u + v ∈ F
3. ∀λ ∈ ℝ, ∀u ∈ F, λ·u ∈ F

b) Exemples fondamentaux

  • Solutions d’un système linéaire homogène
  • Ensemble des polynômes de degré ≤ n
  • Droites/plans passant par l’origine dans ℝ3
0 Plan vectoriel Droite vectorielle

3. Combinaisons Linéaires et Génération

a) Définition

Une combinaison linéaire de vecteurs v1,…,vp est tout vecteur de la forme :

v = λ1v1 + … + λpvp avec λi ∈ ℝ

b) Sous-espace engendré

Vect{v1,…,vp} = ensemble de toutes les combinaisons linéaires

v w Vect{v,w}

4. Indépendance Linéaire

a) Définition

v1,…,vp sont linéairement indépendants si :
λ1v1 + … + λpvp = 0 ⇒ λ1 = … = λp = 0

b) Méthodes pratiques

  • Résolution de système
  • Échelonnement de matrices
  • Calcul de déterminant (pour n vecteurs dans ℝn)

5. Bases et Dimension

a) Base d’un espace vectoriel

Une base est une famille libre et génératrice. Exemples :

  • Base canonique de ℝn : (e1,…,en)
  • Base canonique de ℝn[X] : (1, X, …, Xn)

b) Dimension

dim(E) = nombre de vecteurs dans une base
• dim(ℝn) = n
• dim(ℝn[X]) = n+1
• dim(Mn,p(ℝ)) = n×p

6. Exercices d’Application

Exercice 1 : Montrer que F = {(x,y,z) ∈ ℝ3 | x + 2y – z = 0} est un SEV.

Solution :

  1. (0,0,0) ∈ F car 0 + 2×0 – 0 = 0
  2. Si u,v ∈ F alors u+v ∈ F (vérifier l’équation)
  3. Si u ∈ F et λ ∈ ℝ alors λu ∈ F

Exercice 2 : Les vecteurs (1,2,3), (4,5,6) et (7,8,9) sont-ils linéairement indépendants ?

Solution : Non, car :

1×(1,2,3) – 2×(4,5,6) + 1×(7,8,9) = (0,0,0)

C’est une combinaison linéaire non triviale nulle.

Exercice 3 : Trouver une base de ℝ3 contenant (1,1,0) et (0,1,1).

Solution : Compléter avec (0,0,1) par exemple :

Base : {(1,1,0), (0,1,1), (0,0,1)}

Vérifier que c’est une famille libre et génératrice.

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