10 Exercices sur les Espaces Vectoriels
2ème BAC Sciences Mathématiques
Exercice 1 : Vérification de SEV
Montrer que F = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | x + y = 2z} est un sous-espace vectoriel de ℝ³.
Solution :
- Contient 0 : (0,0,0) ∈ F car 0 + 0 = 2×0
- Stabilité + : Si u=(x₁,y₁,z₁), v=(x₂,y₂,z₂) ∈ F alors u+v ∈ F car (x₁+x₂)+(y₁+y₂) = 2(z₁+z₂)
- Stabilité × : Si u=(x,y,z) ∈ F et λ ∈ ℝ alors λu ∈ F car λx + λy = 2(λz)
Exercice 2 : Indépendance linéaire
Les vecteurs v₁ = (1,2,3), v₂ = (4,5,6) et v₃ = (7,8,9) sont-ils linéairement indépendants ?
Solution : Non, car :
- On trouve v₃ = 2v₂ – v₁ (relation linéaire)
- Ou par le déterminant : det(v₁,v₂,v₃) = 0
- Visualisation : les 3 vecteurs sont coplanaires
Exercice 3 : Base incomplète
Compléter la famille libre {(1,0,1), (0,1,1)} pour former une base de ℝ³.
Solution :
- On peut ajouter (0,0,1) car non combinaison linéaire des autres
- Vérification : det((1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)) = 1 ≠ 0
- Autre possibilité : (1,1,0) ou tout vecteur non dans Vect{v₁,v₂}
Exercice 4 : Polynômes
Montrer que {1-X, 1+X², X-X²} est une base de ℝ₂[X] (polynômes de degré ≤ 2).
Solution :
- Famille libre : si a(1-X)+b(1+X²)+c(X-X²)=0 alors a+b=0, -a+c=0, b-c=0 ⇒ a=b=c=0
- Famille génératrice : dim(ℝ₂[X])=3 et on a 3 vecteurs indépendants
- Matrice de passage :
est inversible
Exercice 5 : Intersection de SEV
Soient F = {(x,y,z) | x+y+z=0} et G = Vect{(1,0,-1), (0,1,-1)}. Déterminer F∩G.
Solution :
- G = {(a,b,-a-b) | a,b ∈ ℝ}
- F∩G = {(x,y,z) ∈ G | x+y+z=0} = G car tout élément de G vérifie déjà x+y+z=0
- Donc F∩G = G
Exercice 6 : Dimension
Déterminer la dimension de F = Vect{(1,2,3), (2,3,4), (3,4,5)}.
Solution :
- On observe que (1,2,3) + (3,4,5) = 2×(2,3,4)
- Donc la famille est liée
- Les 2 premiers vecteurs sont indépendants ⇒ dim(F) = 2
- F est un plan vectoriel
Exercice 7 : Matrices
Montrer que les matrices A = (1 1; 0 0), B = (0 0; 1 1), C = (1 0; 0 1) forment une base de M₂(ℝ).
Solution :
- dim(M₂(ℝ)) = 4 ⇒ il manque une matrice pour une base
- La famille donnée n’est pas une base (trop petite)
- Pour une base, on pourrait ajouter D = (0 1; 0 0)
- Vérifier que det(A,B,C,D) ≠ 0
Exercice 8 : Application linéaire
Soit f : ℝ³ → ℝ² définie par f(x,y,z) = (x+y, y+z). Déterminer Ker(f) et Im(f).
Solution :
- Noyau : Ker(f) = {(x,y,z) | x+y=0 et y+z=0} = Vect{(1,-1,1)}
- Image : Im(f) = ℝ² car f(1,0,0)=(1,0) et f(0,0,1)=(0,1) engendrent ℝ²
- Vérification du théorème du rang : dim(Ker) + dim(Im) = 1 + 2 = 3 = dim(ℝ³)
Exercice 9 : Somme directe
Dans ℝ³, on pose F = Vect{(1,1,0)} et G = {(x,y,z) | x+y=0}. Montrer que ℝ³ = F ⊕ G.
Solution :
- F ∩ G = {0} car seul (0,0,0) vérifie x=y=0 et appartient à F
- dim(F) + dim(G) = 1 + 2 = 3 = dim(ℝ³)
- Donc ℝ³ = F ⊕ G
- Exemple de décomposition : (a,b,c) = ( (a+b)/2, (a+b)/2, 0 ) + ( (a-b)/2, (b-a)/2, c )
Exercice 10 : Espace fonctionnel
Soit E = {f ∈ C¹(ℝ,ℝ) | f’ = f}. Montrer que E est un ℝ-ev et déterminer sa dimension.
Solution :
- E est un SEV de C¹(ℝ,ℝ) (vérifier les axiomes)
- Les solutions sont f(x) = λeˣ, λ ∈ ℝ
- Donc E = Vect{eˣ} est de dimension 1
- Base canonique : {eˣ}
