Équations Différentielles
2ème BAC Sciences Physiques
1. Définitions et Classification
a) Équation différentielle
Relation liant une fonction inconnue \( y \) à ses dérivées \( y’, y” \), etc.
b) Types principaux
- Ordre 1 : \( y’ = f(x,y) \)
- Linéaire : \( a(x)y’ + b(x)y = c(x) \)
- À variables séparables : \( y’ = f(x)g(y) \)
2. Équations à Variables Séparables
Forme générale :
\( y’ = f(x)g(y) \implies \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx \)
Exemple résolu
Résoudre \( y’ = xy \) :
- Séparation : \( \frac{dy}{y} = x dx \)
- Intégration : \( \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C \)
- Solution : \( y = Ke^{x^2/2} \) (K = ±eC)
3. Équations Linéaires d’Ordre 1
Forme standard :
\( y’ + a(x)y = b(x) \)
Méthode de résolution
- Calculer le facteur intégrant \( μ(x) = e^{\int a(x)dx} \)
- Multiplier l’équation par \( μ(x) \)
- Intégrer les deux membres
4. Exercices d’Application
Exercice 1 : Résoudre \( y’ = \frac{y}{x} \) (x > 0)
Solution :
Variables séparables : \( \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} \)
\( \ln|y| = \ln|x| + C \implies y = Kx \) (K ∈ ℝ)
Exercice 2 : Résoudre \( y’ + 2xy = x \)
Solution :
- Facteur intégrant : \( μ(x) = e^{x^2} \)
- Solution générale : \( y = \frac{1}{2} + Ce^{-x^2} \)
