Posted inشعبة العلوم والتكنولوجيا الميكانيكية 2Bac STM مادة الرياضيات

Dérivation et Étude des Fonctions 2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques

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Dérivation et Étude des Fonctions 2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques

Dérivation et Étude des Fonctions
2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques

Exercice 1 : Dérivées usuelles

Calculer les dérivées :

  1. \( f(x) = 5x^4 – 3x^3 + 2x – 7 \)
  2. \( g(x) = \sqrt{3x + 2} \)
  3. \( h(x) = \frac{2x – 1}{x^2 + 1} \)
  1. \( f'(x) = 20x^3 – 9x^2 + 2 \)
  2. \( g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 2}} \)
  3. \( h'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – (2x – 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2 + 1)^2} \)

Exercice 2 : Tangente et position

Pour \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \) :

  1. Déterminer l’équation de la tangente en x=1
  2. Étudier la position relative courbe/tangente
  1. \( f'(x) = 3x^2 – 6x \) ⇒ \( f'(1) = -3 \), \( f(1) = 0 \)
    Tangente : \( y = -3(x – 1) \)
  2. \( f(x) – (-3x + 3) = x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = (x – 1)^3 \)
    Signe dépendant de x-1

Exercice 3 : Théorème de Rolle

Soit \( f(x) = x^3 – 4x \) sur [-2, 2] :

  1. Vérifier les hypothèses du théorème
  2. Trouver c ∈ ]-2, 2[ tel que f'(c) = 0
  1. f continue/dérivable (polynôme) et f(-2) = f(2) = 0
  2. \( f'(x) = 3x^2 – 4 \) ⇒ \( c = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3} \)

Exercice 4 : TAF

Pour \( f(x) = \ln(x) \) sur [1, e] :

  1. Appliquer le TAF
  2. Trouver c vérifiant la conclusion
  1. f continue sur [1,e], dérivable sur ]1,e[
  2. \( \frac{f(e)-f(1)}{e-1} = \frac{1}{e-1} \), \( f'(c) = \frac{1}{c} \) ⇒ \( c = e – 1 \)

Exercice 5 : Variations

Pour \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x} \) :

  1. Déterminer Df
  2. Étudier les variations
  1. Df = ℝ*
  2. \( f'(x) = 1 + \frac{1}{x^2} > 0 \) ⇒ strictement croissante

Exercice 6 : Extremums

Pour \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x \) :

  1. Calculer f'(x)
  2. Déterminer les extremums
  1. \( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 \)
  2. Maximum local en x=1 (f(1)=4), minimum local en x=3 (f(3)=0)

Exercice 7 : Dérivée logarithmique

Pour \( f(x) = x^x \) (x > 0) :

  1. Utiliser la dérivée logarithmique
  2. Calculer f'(x)
  1. \( \ln(f(x)) = x\ln(x) \) ⇒ \( \frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + 1 \)
  2. \( f'(x) = x^x (\ln(x) + 1) \)

Exercice 8 : Étude complète

Pour \( f(x) = \frac{x^2}{x – 1} \) :

  1. Domaine et limites
  2. Variations et extremums
  1. Df = ℝ\{1}, limx→1 = ±∞, limx→±∞ = ±∞
  2. \( f'(x) = \frac{x(x – 2)}{(x – 1)^2} \), minimum en x=2 (f(2)=4)

Exercice 9 : Exponentielle

Pour \( f(x) = e^{-x^2} \) :

  1. Calculer f'(x)
  2. Étudier la convexité
  1. \( f'(x) = -2x e^{-x^2} \)
  2. \( f”(x) = (4x^2 – 2)e^{-x^2} \), convexe sur ]-∞, -1/√2[ ∪ ]1/√2, +∞[

Exercice 10 : Optimisation

Un rectangle a un périmètre de 20 cm :

  1. Exprimer l’aire A en fonction d’un côté x
  2. Trouver les dimensions pour A maximale
  1. \( A(x) = x(10 – x) = 10x – x^2 \)
  2. \( A'(x) = 10 – 2x \), maximum en x=5 ⇒ carré 5×5 cm
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