Cours : Suites Numériques
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Définitions et Types de Suites
a) Définition
Une suite numérique est une fonction \( u: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \) notée \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \).
b) Types principaux
- Suite arithmétique : \( u_{n+1} = u_n + r \)
- Suite géométrique : \( u_{n+1} = q \times u_n \)
- Suite récurrente : \( u_{n+1} = f(u_n) \)
Arithmétique (r=2)
Géométrique (q=0.5)
2. Sens de Variation
Méthodes d’étude
- Calcul de \( u_{n+1} – u_n \) :
- Positif ⇒ Croissante
- Négatif ⇒ Décroissante
- Pour \( u_n > 0 \) : Étude de \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \)
- Analyse de fonction si \( u_n = f(n) \)
Étudier la variation de \( u_n = \frac{n}{n+1} \) :
Solution : \( u_{n+1} – u_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0 \) ⇒ Suite strictement croissante.
3. Limite et Convergence
a) Définitions
Une suite converge vers \( L \) si : \( \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n – L| < \epsilon \).
b) Théorèmes clés
- Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge
- Théorème des gendarmes
Suite convergeant vers L=2 avec ε-intervalle
4. Suites Récurrentes \( u_{n+1} = f(u_n) \)
Méthode d’analyse
- Chercher les points fixes \( L = f(L) \)
- Étudier la stabilité (|f'(L)| < 1)
- Représentation graphique en “toile d’araignée”
Étapes :
- Point fixe : \( L = \sqrt{L + 2} \) ⇒ \( L = 2 \)
- \( f'(L) = \frac{1}{2\sqrt{L+2}} = \frac{1}{4} < 1 \) ⇒ convergence stable
5. Exercices d’Application
Exercice 1 : Soit \( u_n = \frac{3n – 1}{n + 2} \). Montrer qu’elle converge et trouver sa limite.
\( \lim_{n \to \infty} \frac{3n – 1}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 – 1/n}{1 + 2/n} = 3 \)
Exercice 2 : Soit \( u_{n+1} = 0.5u_n + 3 \) avec \( u_0 = 1 \). Étudier sa convergence.
Point fixe : \( L = 0.5L + 3 \) ⇒ \( L = 6 \). Suite convergente car |0.5| < 1.
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