Montrer que le triangle ABC est rectangle en A sachant que [BC] est un diamètre du cercle.
Solution :
D’après la propriété du triangle rectangle inscrit :
“Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors il est rectangle.”
Exercice 2 : Centre du cercle circonscrit
O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en A. Que représente O pour [BC] ?
Solution :
Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.
Donc O est le milieu de [BC].
Exercice 3 : Longueur de la médiane
Calculer AO sachant que ABC est rectangle en A et BC = 10 cm.
Solution :
Dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.
Donc AO = BC/2 = 10/2 = 5 cm
Exercice 4 : Reconnaître un triangle rectangle
Le triangle MNP est inscrit dans un cercle de diamètre [MP]. Quelle est sa nature ?
Solution :
D’après la réciproque de la propriété du triangle rectangle :
“Si un côté d’un triangle est un diamètre de son cercle circonscrit, alors c’est un triangle rectangle.”
Donc MNP est rectangle en N.
Exercice 5 : Calcul d’angle
Calculer l’angle B̂ sachant que ABC est rectangle en A et que O est le centre du cercle circonscrit, avec AÔB = 100°.
Solution :
Le triangle AOB est isocèle en O (OA = OB = rayon).
Donc B̂ = (180° – 100°)/2 = 40°
Exercice 6 : Construction géométrique
Construire le cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm.
Solution :
Méthode :
1. Tracer le triangle rectangle ABC
2. Trouver le milieu O de l’hypoténuse [BC]
3. Tracer le cercle de centre O passant par A, B et C
Exercice 7 : Problème pratique
Un terrain rectangulaire de 30m × 40m doit être inscrit dans un cercle. Quel est le diamètre minimal du cercle ?
Solution :
La diagonale du rectangle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle :
d = √(30² + 40²) = 50 m
C’est aussi le diamètre du cercle circonscrit.
Exercice 8 : Médiane et hauteur
Montrer que dans un triangle rectangle, la médiane et la hauteur issues de l’angle droit sont confondues.
Solution :
Dans un triangle rectangle :
– La médiane issue de A joint A au milieu de [BC]
– La hauteur issue de A est perpendiculaire à [BC]
Ces deux droites sont confondues avec la droite (AO) où O est le centre du cercle circonscrit.
Exercice 9 : Cercle et carré
Un carré est inscrit dans un cercle de rayon 5 cm. Quelle est la longueur du côté du carré ?
Solution :
La diagonale du carré est le diamètre du cercle : 10 cm
Si c est le côté, alors d = c√2 ⇒ c = d/√2 = 10/1.414 ≈ 7.07 cm
Exercice 10 : Vrai ou Faux
1. Tous les triangles rectangles peuvent être inscrits dans un cercle.
2. Le centre du cercle circonscrit est toujours à l’intérieur du triangle.
3. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.
Solution :
1. Vrai : Propriété fondamentale
2. Faux : Seulement pour les triangles acutangles (tous angles < 90°)
3. Vrai : Caractéristique des triangles rectangles
