📐 Exercices : Droites Remarquables dans un Triangle 2ème Année Collège
🔺 Exercice 1 : Médianes
Construire un triangle ABC quelconque et tracer ses trois médianes. Que constatez-vous ?
Solution :
Les trois médianes se coupent en un même point appelé centre de gravité du triangle.
📏 Exercice 2 : Hauteurs
Tracer un triangle ABC rectangle en A et construire ses trois hauteurs. Que remarquez-vous ?
Solution :
Les trois hauteurs se coupent en A (angle droit). Dans un triangle rectangle, deux hauteurs correspondent aux côtés de l’angle droit.
✂️ Exercice 3 : Médiatrices
Construire un triangle ABC isocèle en A et tracer les médiatrices de ses côtés. Où se coupent-elles ?
Solution :
Les médiatrices se coupent en un point qui est le centre du cercle circonscrit. Pour un triangle isocèle, ce point se situe sur la hauteur issue de A.
📐 Exercice 4 : Bissectrices
Tracer un triangle ABC équilatéral et construire ses bissectrices. Que pouvez-vous dire du point d’intersection ?
Solution :
Dans un triangle équilatéral, les bissectrices, médianes, hauteurs et médiatrices coïncident. Le point d’intersection est à la fois centre du cercle inscrit et circonscrit.
🔍 Exercice 5 : Cas particulier
Dans un triangle obtusangle, où se trouve le point d’intersection des hauteurs (orthocentre) ?
Solution :
Dans un triangle obtusangle, l’orthocentre se trouve à l’extérieur du triangle.
📝 Exercice 6 : Construction
Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm, AC = 5 cm et BC = 4 cm. Tracer ensuite ses médianes et mesurer AG si G est le centre de gravité.
Solution :
La médiane issue de A mesure environ 4.3 cm. AG mesure environ 2.9 cm (car AG = 2/3 de la médiane).
🧩 Exercice 7 : Propriété
Montrer que dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit.
Solution :
Dans un triangle rectangle, le milieu de l’hypoténuse est équidistant des trois sommets (c’est le centre du cercle circonscrit).
📏 Exercice 8 : Hauteur particulière
Dans un triangle ABC isocèle en A, la hauteur issue de A mesure 8 cm et BC = 6 cm. Calculer AB.
Solution :
En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle AHB rectangle en H :
AB = √(AH² + (BC/2)²) = √(8² + 3²) = √(64 + 9) = √73 ≈ 8.54 cm
🔺 Exercice 9 : Centre de gravité
Dans un triangle ABC, G est le centre de gravité. Sachant que AG = 10 cm, quelle est la longueur de la médiane issue de A ?
Solution :
Le centre de gravité divise la médiane dans un rapport 2:1. Donc si AG = 10 cm (2/3), alors la médiane entière mesure 15 cm.
✏️ Exercice 10 : Problème synthèse
Construire un triangle ABC rectangle en B avec AB = 3 cm et BC = 4 cm. Tracer puis comparer les 4 droites remarquables issues de B.
Solution :
Dans un triangle rectangle en B :
– La hauteur issue de B est le côté BC
– La médiane issue de B rejoint le milieu de AC
– La médiatrice de AB est parallèle à BC
– La bissectrice de B partage l’angle droit
