Dans le triangle ABC, I est le milieu de [AB] et J de [AC]. Montrer que (IJ) est parallèle à (BC).
Solution :
D’après la propriété des milieux :
“Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté.”
Exercice 2 : Théorème de Thalès
Calculer DE sachant que (DE) ∥ (BC), AB = 8 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm et BC = 5 cm.
Solution :
D’après le théorème de Thalès :
AD/AB = AE/AC = DE/BC
3/8 = DE/5 ⇒ DE = (3×5)/8 = 1.875 cm
Exercice 3 : Nature du triangle
Dans la figure ci-dessous, (MN) ∥ (BC) et AM = MB. Quelle est la nature du triangle AMN ?
Solution :
Comme (MN) ∥ (BC) et M est milieu de [AB], alors N est milieu de [AC].
Donc AMN est un triangle isocèle en A car AM = AN.
Exercice 4 : Calcul de longueur
Dans cette configuration, calculer BC si (MN) ∥ (BC), AM = 4 cm, AN = 3 cm, MN = 2 cm et AC = 6 cm.
Solution :
Par Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC
AN/AC = 3/6 = 0.5 ⇒ MN/BC = 0.5 ⇒ BC = MN/0.5 = 4 cm
Exercice 5 : Vérification de parallélisme
Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ? (AM = 2 cm, MB = 3 cm, AN = 2.5 cm, NC = 3.75 cm)
Solution :
On vérifie les rapports :
AM/AB = 2/5 = 0.4
AN/AC = 2.5/6.25 = 0.4
Les rapports sont égaux ⇒ (MN) ∥ (BC)
Exercice 6 : Construction géométrique
Tracer une droite (d) parallèle à (BC) passant par A, sans utiliser de rapporteur.
Solution :
Méthode avec compas :
1. Tracer un arc de cercle centré en B passant par A
2. Tracer un arc de même rayon centré en C
3. La droite (d) est la tangente aux deux arcs passant par A
Exercice 7 : Triangles emboîtés
Montrer que (DE) ∥ (FG) dans cette configuration où (DE) ∥ (BC) et (FG) ∥ (BC).
Solution :
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
(DE) ∥ (BC) et (FG) ∥ (BC) ⇒ (DE) ∥ (FG)
Exercice 8 : Calcul d’angle
Calculer l’angle  sachant que (MN) ∥ (BC) et que l’angle M̂ = 50°.
Solution :
Les angles correspondants sont égaux :
M̂ = B̂ = 50°
La somme des angles d’un triangle vaut 180° ⇒ Â = 180 – 50 – 50 = 80°
Exercice 9 : Partage proportionnel
Partager [AB] en 3 segments égaux en utilisant une droite auxiliaire.
Solution :
Méthode :
1. Tracer une droite (d) quelconque passant par A
2. Reporter 3 segments égaux sur (d)
3. Relier le dernier point à B
4. Tracer les parallèles à cette droite
Exercice 10 : Problème de hauteur
Calculer la hauteur de l’arbre sachant qu’un bâton de 2 m projette une ombre de 1.5 m et que l’arbre projette une ombre de 6 m.
Solution :
Configuration de Thalès :
hauteur/ombre = 2/1.5 ⇒ h/6 = 2/1.5 ⇒ h = (6×2)/1.5 = 8 m
