10 Exercices – Systèmes Asservis
Sciences d’Ingénieur – 2ème BAC STE
Exercice 1 : Identification de système
La réponse indicielle d’un système donne :
- Valeur finale = 4V
- Temps à 63% = 2s
Déterminer sa fonction de transfert.
Correction :
Modèle du premier ordre : \( F(p) = \frac{K}{1+τp} \)
Avec \( K = 4 \) et \( τ = 2s \)
\( F(p) = \boxed{\frac{4}{1+2p}} \)
Exercice 2 : Correcteur proportionnel
Pour \( F(p) = \frac{2}{1+3p} \), calculer \( K_p \) pour un temps de réponse réduit de 50%.
Correction :
Nouvelle constante de temps : \( τ’ = \frac{3}{1+2K_p} = 1,5s \)
Résolution : \( K_p = \boxed{0,5} \)
Exercice 3 : Réponse indicielle
Un système a un dépassement de 15% et \( t_{5\%} = 0,8s \).
- Déterminer son coefficient d’amortissement ξ
- Calculer sa pulsation propre ωn
Correction :
a) \( D\% = 15\% \Rightarrow ξ \approx 0,52 \) (par formule \( D\% = e^{-\frac{ξπ}{\sqrt{1-ξ^2}}} \))
b) \( t_{5\%} \approx \frac{3}{ξω_n} \Rightarrow ω_n \approx \boxed{7,2 rad/s} \)
Exercice 4 : Erreur statique
Un système en boucle fermée a \( FTBO(p) = \frac{5}{p(1+0,1p)} \).
Calculer l’erreur en régime permanent pour une entrée échelon de 3V.
Correction :
Erreur statique pour un échelon : \( e_{ss} = \frac{1}{1+K_p} \)
\( K_p = \lim_{p→0} FTBO(p) = ∞ \) ⇒ \( e_{ss} = \boxed{0V} \)
Exercice 5 : Stabilité
Pour \( FTBF(p) = \frac{K}{p^2+4p+K} \), déterminer la valeur critique de K pour la stabilité.
Correction :
Critère de Routh : \( K > 0 \) et \( 4 > 0 \)
Le système est stable pour \( \boxed{K > 0} \)
Exercice 6 : Correcteur PI
Un processus a \( F(p) = \frac{1}{1+5p} \). On ajoute un correcteur PI (\( K_p = 2 \), \( T_i = 4s \)).
Donner la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte.
Correction :
Correcteur PI : \( C(p) = 2\left(1+\frac{1}{4p}\right) = \frac{8p+2}{4p} \)
\( FTBO(p) = C(p)×F(p) = \boxed{\frac{8p+2}{4p(1+5p)}} \)
Exercice 7 : Réglage PID
Pour un système thermique, les paramètres PID sont :
- \( K_p = 3 \)
- \( T_i = 10s \)
- \( T_d = 2s \)
Calculer l’action PID pour une erreur constante de 5°C.
Correction :
\( u(t) = K_p\left(ε + \frac{1}{T_i}\int ε dt + T_d\frac{dε}{dt}\right) \)
Avec ε constant : \( u(t) = 3\left(5 + \frac{5}{10}t + 0\right) = \boxed{15 + 1,5t} \)
Exercice 8 : Marge de phase
Un système a \( FTBO(jω) = \frac{10}{jω(1+0,1jω)} \).
Calculer sa marge de phase.
Correction :
1. Calcul de ωc : \( |FTBO(jω_c)| = 1 \) ⇒ \( ω_c \approx 10 rad/s \)
2. Phase à ωc : \( φ = -90° – atan(0,1×10) = -135° \)
3. Marge de phase : \( Δφ = 180° – 135° = \boxed{45°} \)
Exercice 9 : Asservissement de position
Un moteur a \( F(p) = \frac{2}{p(1+0,5p)} \). On souhaite :
- Erreur statique nulle
- Temps de réponse ≤ 1s
Proposer un correcteur adapté.
Correction :
Choix d’un correcteur PI :
• \( T_i = 0,5s \) (compensation du pôle)
• \( K_p \) entre 2 et 4 pour \( t_r ≤ 1s \)
Solution : \( C(p) = \boxed{3\left(1 + \frac{1}{0,5p}\right)} \)
Exercice 10 : Synthèse
Un four électrique a la réponse indicielle suivante :
- Gain statique = 8°C/W
- Temps à 95% = 40s
- Dépassement nul
Déterminer son modèle et proposer un correcteur PID.
Correction :
1. Modèle du premier ordre : \( F(p) = \frac{8}{1+10p} \) (car \( t_{95\%} ≈ 3τ \))
2. Correcteur PID proposé :
\( C(p) = 1,5\left(1 + \frac{1}{15p} + 2p\right) \)
(Valeurs typiques pour les systèmes thermiques)
Ces exercices couvrent les compétences clés du référentiel sur les systèmes asservis.
