Exercices : Les ensembles de nombres
N, Z, Q, D et ℝ
Exercice 1 : Classification des nombres
Classer les nombres suivants dans les ensembles ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻 et ℝ :
a) -5 b) 3/4 c) √2 d) 0.333… e) π f) 7 g) -2/3 h) 1.618
Solution :
| Nombre |
ℕ |
ℤ |
ℚ |
𝔻 |
ℝ |
| a) -5 |
✗ |
✓ |
✓ |
✓ |
✓ |
| b) 3/4 |
✗ |
✗ |
✓ |
✓ |
✓ |
| c) √2 |
✗ |
✗ |
✗ |
✗ |
✓ |
| d) 0.333… |
✗ |
✗ |
✓ |
✓ |
✓ |
| e) π |
✗ |
✗ |
✗ |
✗ |
✓ |
| f) 7 |
✓ |
✓ |
✓ |
✓ |
✓ |
| g) -2/3 |
✗ |
✗ |
✓ |
✓ |
✓ |
| h) 1.618 |
✗ |
✗ |
✗ |
✓ |
✓ |
Exercice 2 : Vrai ou Faux
Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant :
- Tout nombre entier est un nombre décimal
- Tout nombre rationnel est un nombre entier
- L’ensemble ℤ est inclus dans l’ensemble ℚ
- √25 est un nombre irrationnel
- π peut s’écrire sous forme de fraction
Solution :
- Vrai : Tout entier n peut s’écrire n/1 ou n.0, donc c’est un décimal
- Faux : Par exemple 1/2 est rationnel mais pas entier
- Vrai : Tout entier peut s’écrire sous forme de fraction (n/1)
- Faux : √25 = 5 qui est un entier (donc rationnel)
- Faux : π est un nombre irrationnel (ne peut pas s’écrire comme fraction de deux entiers)
Exercice 3 : Développement décimal
Pour chaque nombre, donner son développement décimal et préciser s’il est décimal, rationnel non décimal ou irrationnel :
- 5/8
- 7/3
- √9
- √3
- 0.1242424…
Solution :
| Nombre |
Développement décimal |
Type |
| a) 5/8 |
0.625 (fini) |
Décimal |
| b) 7/3 |
2.333… (périodique) |
Rationnel non décimal |
| c) √9 |
3.0 (fini) |
Décimal (et entier) |
| d) √3 |
1.7320508… (infini non périodique) |
Irrationnel |
| e) 0.1242424… |
0.1242424… (périodique) |
Rationnel non décimal |
Exercice 4 : Conversion de formes
Convertir les nombres suivants sous la forme demandée :
- 0.75 en fraction
- 5/9 en développement décimal
- 1.333… en fraction
- 0.1242424… en fraction
- √2 en valeur décimale approchée à 10-3 près
Solution :
- 0.75 = 75/100 = 3/4
- 5/9 = 0.555… (période 5)
- Soit x = 1.333…
10x = 13.333…
10x – x = 12 ⇒ 9x = 12 ⇒ x = 4/3
- Soit x = 0.1242424…
1000x = 124.242424…
10x = 1.242424…
1000x – 10x = 123 ⇒ 990x = 123 ⇒ x = 123/990 = 41/330
- √2 ≈ 1.414 (car 1.414² = 1.999396 et 1.415² = 2.002225)
Exercice 5 : Opérations et ensembles
Pour chaque opération, donner le résultat et préciser le plus petit ensemble auquel il appartient (ℕ, ℤ, ℚ, 𝔻, ℝ) :
- 5 + 3
- 5 – 7
- 2 × 0.5
- √4 + √2
- 1/3 + 1/6
- π + 1
Solution :
| Opération |
Résultat |
Plus petit ensemble |
| a) 5 + 3 |
8 |
ℕ |
| b) 5 – 7 |
-2 |
ℤ |
| c) 2 × 0.5 |
1 |
ℕ |
| d) √4 + √2 |
2 + √2 ≈ 3.414 |
ℝ (car √2 est irrationnel) |
| e) 1/3 + 1/6 |
1/2 |
ℚ |
| f) π + 1 |
π + 1 ≈ 4.1416 |
ℝ |
