Exercices : Racines Carrées
Mathématiques – 3ème Année Collège
Exercice 1 : Calculs simples
Calculer les racines carrées suivantes :
√25
√64
√121
√1.44
√(9/16)
Solution :
√25 = 5
√64 = 8
√121 = 11
√1.44 = 1.2
√(9/16) = 3/4
Exercice 2 : Simplification
Simplifier les expressions suivantes :
1) √50
2) √72
3) √98
4) √(32x²) (x ≥ 0)
Solution :
1) √50 = √(25×2) = 5√2
2) √72 = √(36×2) = 6√2
3) √98 = √(49×2) = 7√2
4) √(32x²) = √(16×2×x²) = 4x√2
Exercice 3 : Opérations
Calculer les expressions suivantes :
1) 3√5 + 2√5 – √5
2) √12 + √27
3) (2√3)²
4) √6 × √24
Solution :
1) 3√5 + 2√5 – √5 = (3+2-1)√5 = 4√5
2) √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
3) (2√3)² = 4×3 = 12
4) √6 × √24 = √(6×24) = √144 = 12
Exercice 4 : Équations
Résoudre les équations suivantes :
1) √x = 5
2) x² = 49
3) 2√x = 10
4) √(x+1) = 3
Solution :
1) √x = 5 ⇒ x = 5² = 25
2) x² = 49 ⇒ x = 7 ou x = -7
3) 2√x = 10 ⇒ √x = 5 ⇒ x = 25
4) √(x+1) = 3 ⇒ x+1 = 9 ⇒ x = 8
Exercice 5 : Problème géométrique
1) Calculer la diagonale d’un carré de côté 5 cm.
2) Un rectangle a pour longueur √50 cm et pour largeur √18 cm. Calculer son périmètre sous forme simplifiée.
Solution :
1) Diagonale = côté × √2 = 5√2 cm ≈ 7.07 cm
2) Périmètre = 2×(L + l) = 2×(√50 + √18) = 2×(5√2 + 3√2) = 2×8√2 = 16√2 cm
Exercice 6 : Comparaisons
Classer les nombres suivants par ordre croissant :
Solution :
Calculons les valeurs approchées :
√7 ≈ 2.6458 ; 2√2 ≈ 2.8284 ; 3 = 3 ; √10 ≈ 3.1623 ; 2.5 = 2.5
Ordre croissant : 2.5 < √7 < 2√2 < 3 < √10
Exercice 7 : Encadrement
1) Donner un encadrement de √5 entre deux entiers consécutifs.
2) Trouver une valeur approchée de √17 à 0.1 près.
Solution :
1) 2² = 4 < 5 < 9 = 3² ⇒ 2 < √5 < 3
2) 4.1² = 16.81 ; 4.2² = 17.64 ⇒ √17 ≈ 4.1 (car 17-16.81 = 0.19 < 0.23 = 17.64-17)
Exercice 8 : Expression algébrique
Simplifier l’expression : A = √(x² + 6x + 9) + √(x² – 4x + 4) pour x ≥ 2
Solution :
A = √(x+3)² + √(x-2)² = |x+3| + |x-2|
Pour x ≥ 2 : x+3 > 0 et x-2 ≥ 0 ⇒ A = x+3 + x-2 = 2x + 1
Exercice 9 : Calcul littéral
Développer et simplifier : (√3 + 2)² – (√3 – 1)(√3 + 1)
Solution :
= (3 + 4√3 + 4) – (3 – 1) = (7 + 4√3) – 2 = 5 + 4√3
Exercice 10 : Problème ouvert
Trouver tous les nombres entiers n tels que √(n+5) soit un nombre entier.
Solution :
Soit k = √(n+5) ∈ ℕ ⇒ n = k² – 5
n doit être positif ou nul : k² – 5 ≥ 0 ⇒ k ≥ √5 ≈ 2.23 ⇒ k ≥ 3
Solutions : n = 4 (k=3), 11 (k=4), 20 (k=5), 31 (k=6), …
