Proposition initiale : \( P \Rightarrow Q \) avec :

\( P \) : “n est divisible par 6”

\( Q \) : “n est pair”

Contraposée : \( \neg Q \Rightarrow \neg P \)

“Si un nombre n’est pas pair, alors il n’est pas divisible par 6.”

Règles de négation :

\( \neg(\forall x, P(x)) \equiv \exists x, \neg P(x) \)

\( \neg(\exists y, Q(y)) \equiv \forall y, \neg Q(y) \)

Négation :

\( \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x + y \neq 0 \)

1. Supposons que \( \sqrt{3} \) est rationnel :

\( \sqrt{3} = \frac{p}{q} \) avec \( p \wedge q = 1 \)

2. Alors \( 3 = \frac{p^2}{q^2} \) ⇒ \( p^2 = 3q^2 \) ⇒ \( p^2 \) divisible par 3 ⇒ \( p \) divisible par 3

3. Posons \( p = 3k \) : \( 9k^2 = 3q^2 \) ⇒ \( q^2 = 3k^2 \) ⇒ \( q \) aussi divisible par 3

4. Contradiction avec \( p \wedge q = 1 \) ⇒ hypothèse fausse

\( \forall x \in \mathbb{R}^*_+, \exists y \in \mathbb{R}, y^2 = x \)

a) Faux : Aucun réel n’a un carré négatif (ℂ seulement)

b) Vrai : Vérifié pour n=0 (0≥0), n=1 (1≥1), et ∀n≥2, n²≥2n≥n