Géométrie dans l’Espace
2ème BAC Sciences Physiques (STM)
1. Produit Scalaire dans l’Espace
a) Définition
Pour deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\)
où θ est l’angle entre les vecteurs
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)\)
où θ est l’angle entre les vecteurs
b) Propriétés
- Symétrie : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Bilinéarité : Distributif sur l’addition
- Orthogonalité : \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}\)
2. Produit Vectoriel
a) Définition
\(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est le vecteur :
• Norme : \(\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| |\sin(\theta)|\)
• Direction : Perpendiculaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
• Sens : Règle de la main droite
• Norme : \(\|\vec{u}\| \|\vec{v}\| |\sin(\theta)|\)
• Direction : Perpendiculaire à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\)
• Sens : Règle de la main droite
b) Interprétation géométrique
- Aire du parallélogramme : \(\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|\)
- \(\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{v} \wedge \vec{u}\)
- Double produit vectoriel : \(\vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w})\)
3. Applications Géométriques
a) Équation de plan
Plan passant par A de vecteur normal \(\vec{n}\) :
\(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\)
\(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0\)
b) Distance point-plan
\(d(P, \mathcal{P}) = \frac{|\overrightarrow{AP} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|}\)
où A est un point du plan \(\mathcal{P}\)
où A est un point du plan \(\mathcal{P}\)
4. Exercices d’Application
Exercice 1 : Calculer \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) avec \(\vec{u}(1,2,3)\) et \(\vec{v}(4,-1,2)\)
Solution :
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (1×4) + (2×-1) + (3×2) = 4 – 2 + 6 = 8\)
Exercice 2 : Déterminer un vecteur normal au plan défini par A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)
Solution :
- \(\overrightarrow{AB} = (-1,1,0)\) et \(\overrightarrow{AC} = (-1,0,1)\)
- \(\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1,1,1)\)
Exercice 3 : Calculer l’aire du triangle ABC avec les points de l’exercice 2
Solution :
Aire = \(\frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
