Dénombrement et Probabilités
2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques
1. Principes de Dénombrement
a) Principe fondamental
Si une action peut se faire de \( n \) façons et une autre de \( p \) façons, alors les deux actions peuvent se faire de \( n \times p \) façons.
Exemple :
3 t-shirts et 2 pantalons donnent \( 3 \times 2 = 6 \) tenues possibles.
b) Permutations et arrangements
| Notion | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Permutation | \( n! \) | Ordre de 5 personnes : 5! = 120 |
| Arrangement | \( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \) | Podium avec 10 coureurs : \( A_{10}^3 = 720 \) |
| Combinaison | \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) | Loto : \( C_{49}^6 \approx 14 \) millions |
2. Probabilités Discrètes
a) Définitions
Probabilité :
\[ P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}} \]Événements :
- Certain : \( P(A) = 1 \)
- Impossible : \( P(A) = 0 \)
- Complémentaire : \( P(\overline{A}) = 1 – P(A) \)
b) Probabilités conditionnelles
Exemple : Dans une classe de 30 élèves (18 filles dont 8 en SPC), la probabilité qu’une fille soit en SPC est \( \frac{8}{18} \).
3. Lois de Probabilité Usuelles
Loi Uniforme
Tous les résultats équiprobables :
\[ P(X=k) = \frac{1}{n} \]Exemple : Dé à 6 faces
Loi Binomiale
Répétition d’épreuves identiques :
\[ P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]Exemple : 10 lancers de pièce, proba d’avoir 3 piles
\[ C_{10}^3 (0.5)^3 (0.5)^7 \approx 11.7\% \]4. Applications en Physique-Chimie
Physique Nucléaire
Désintégration radioactive suit une loi exponentielle :
\[ P(t) = e^{-\lambda t} \]λ : constante radioactive
Chimie Statistique
Nombre de configurations microscopiques :
\[ W = \frac{N!}{\prod n_i!} \]ni : nombre de particules dans l’état i
5. Exercices Types
Exercice 1 : Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec A,B,C,D sans répétition ?
C’est un arrangement de 4 éléments pris 3 à 3 :
\[ A_4^3 = 4 \times 3 \times 2 = \boxed{24} \]Exercice 2 : Une usine produit 2% de pièces défectueuses. Sur 100 pièces, quelle est la probabilité d’en avoir exactement 3 défectueuses ?
Loi binomiale \( B(n=100, p=0.02) \) :
\[ P(X=3) = C_{100}^3 (0.02)^3 (0.98)^{97} \approx \boxed{0.182} \]
