Calcul Intégral
2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques
1. Intégrale d’une Fonction Continue
Définition : Pour \( f \) continue sur \([a,b]\), l’intégrale de \( a \) à \( b \) est :
\[ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) – F(a) \]
où \( F \) est une primitive de \( f \)
Propriétés :
- Linéarité : \( \int_a^b [αf(x) + βg(x)] \, dx = α\int_a^b f(x) \, dx + β\int_a^b g(x) \, dx \)
- Relation de Chasles : \( \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx \)
- Positivité : Si \( f ≥ 0 \) sur \([a,b]\) alors \( \int_a^b f(x) \, dx ≥ 0 \)
2. Techniques de Calcul Intégral
a) Intégration par Parties
\[ \int_a^b u(x)v'(x) \, dx = \Big[u(x)v(x)\Big]_a^b – \int_a^b u'(x)v(x) \, dx \]
Exemple : \( \int_0^1 x e^x \, dx \)
Choix : \( u = x \) (dérive), \( dv = e^x dx \) (intègre)
\[ = \Big[x e^x\Big]_0^1 – \int_0^1 e^x \, dx = e – (e – 1) = 1 \]b) Changement de Variable
\[ \text{Si } x = φ(t) \text{ alors } \int_a^b f(x) \, dx = \int_{α}^{β} f(φ(t))φ'(t) \, dt \]
Exemple : \( \int_0^1 \frac{2x}{x^2+1} \, dx \)
Poser \( u = x^2 + 1 \), \( du = 2x dx \)
\[ = \int_1^2 \frac{du}{u} = \ln 2 \]3. Applications en Physique-Chimie
Cinématique
Déplacement = intégrale de la vitesse :
\[ Δx = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt \]Électricité
Charge = intégrale de l’intensité :
\[ q = \int_{t_1}^{t_2} i(t) \, dt \]Travail d’une Force
Le travail d’une force variable :
\[ W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) \, dx \]4. Calcul d’Aires
Entre une courbe et l’axe Ox :
\[ A = \int_a^b |f(x)| \, dx \]Entre deux courbes :
\[ A = \int_a^b |f(x) – g(x)| \, dx \]Exemple : Calculer l’aire entre \( y = x^2 \) et \( y = x \) sur [0,1]
\[ A = \int_0^1 (x – x^2) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} – \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{6} \]5. Valeur Moyenne d’une Fonction
\[ μ = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx \]
Interprétation : Hauteur du rectangle ayant même aire que sous la courbe
Application : Valeur moyenne d’un courant variable
\[ I_{moy} = \frac{1}{T} \int_0^T i(t) \, dt \]
