Dérivation et Étude des Fonctions
2ème BAC Sciences et Technologies Mécaniques
1. Dérivabilité et Interprétation
Définition : La dérivée de f en a est :
Si cette limite existe et est finie, f est dérivable en a.
Interprétations :
- Géométrique : f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse a
- Physique : Si x(t) est la position à l’instant t, alors x'(t) représente la vitesse instantanée
- Variation : Le signe de f’ donne le sens de variation de f
2. Règles de Dérivation
Dérivées usuelles
| \( f(x) \) | \( f'(x) \) |
| \( k \) (constante) | 0 |
| \( x^n \) | \( nx^{n-1} \) |
| \( \sin x \) | \( \cos x \) |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( \ln x \) | \( \frac{1}{x} \) |
Opérations sur les dérivées
| \( (u + v)’ \) | \( u’ + v’ \) |
| \( (ku)’ \) | \( ku’ \) |
| \( (uv)’ \) | \( u’v + uv’ \) |
| \( \left(\frac{u}{v}\right)’ \) | \( \frac{u’v – uv’}{v^2} \) |
| \( (u ∘ v)’ \) | \( v’ \times (u’ ∘ v) \) |
Exemple : Dériver \( f(x) = (3x^2 + 2)e^x \)
On reconnaît un produit \( u(x)v(x) \) avec :
\( u(x) = 3x^2 + 2 \) → \( u'(x) = 6x \)
\( v(x) = e^x \) → \( v'(x) = e^x \)
Donc : \( f'(x) = 6x e^x + (3x^2 + 2)e^x = (3x^2 + 6x + 2)e^x \)
3. Étude Complète d’une Fonction
Méthodologie
- Domaine de définition : Trouver les valeurs interdites
- Dérivabilité : Étudier sur quel ensemble f est dérivable
- Calcul de la dérivée : Simplifier l’expression
- Tableau de variation : Signe de f’ et conséquences
- Limites et asymptotes : Aux bornes du domaine
- Courbe représentative : Tracé avec points remarquables
Exemple d’étude
Soit \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \)
1. Domaine : ℝ* (x ≠ 0)
2. Dérivée : \( f'(x) = \frac{2x \cdot x – (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2} \)
3. Signe : Numérateur s’annule en x = -1 et x = 1
Tableau de variation
| x | -∞ | -1 | 0 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | – | 0 | + |
| f(x) | ↗ | -2 | ↘ | 2 | ↗ |
4. Applications de la Dérivation
Optimisation
Pour trouver les extremums d’une fonction :
- Calculer f'(x)
- Chercher où f'(x) = 0
- Étudier le changement de signe
Exemple : Trouver le rectangle d’aire maximale pour un périmètre donné
Tangentes
Équation de la tangente en a :
Application : Approximation affine
\( f(a + h) ≈ f(a) + h f'(a) \) pour h petit
Vitesse et accélération
En physique :
- Position : \( x(t) \)
- Vitesse : \( v(t) = x'(t) \)
- Accélération : \( a(t) = v'(t) = x”(t) \)
5. Dérivées Successives et Convexité
Dérivées seconde
La dérivée seconde est la dérivée de f’ :
Interprétation :
- Si f” > 0 : f’ croissante → f convexe
- Si f” < 0 : f' décroissante → f concave
Point d’inflexion
Point où la courbe change de concavité
Condition : f” s’annule en changeant de signe
Exemple : Soit \( f(x) = x^3 – 3x \)
\( f'(x) = 3x^2 – 3 \)
\( f”(x) = 6x \)
f” s’annule en x=0 en changeant de signe → point d’inflexion en (0,0)
