Probabilités Avancées
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Notions Fondamentales
a) Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire si ses résultats ne peuvent pas être prédits avec certitude.
b) Univers et événements
- Univers (Ω) : Ensemble de tous les résultats possibles (ex : \( \Omega = \{1,2,3,4,5,6\} \))
- Événement : Sous-ensemble de \( \Omega \)
- Événement élémentaire : Singleton de \( \Omega \)
- Système complet d’événements : Partition de \( \Omega \)
2. Probabilité Conditionnelle
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \) avec \( P(B) > 0 \)
Exemple concret :
Dans une classe :
- 60% des élèves étudient les maths (\( M \))
- 30% étudient les maths et la physique (\( M \cap P \))
- Quelle est la probabilité qu’un élève étudie la physique sachant qu’il étudie les maths?
\( P(P|M) = \frac{P(M \cap P)}{P(M)} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5 \)
3. Indépendance
\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
- Calculer \( P(A) \times P(B) \)
- Comparer avec \( P(A \cap B) \)
- Si égalité ⇒ indépendants
4. Variables Aléatoires
a) Définition
Une variable aléatoire discrète \( X \) est une fonction définie sur \( \Omega \) à valeurs réelles.
b) Loi de probabilité
| Valeurs \( x_i \) | Probabilités \( P(X=x_i) \) |
|---|---|
| \( x_1 \) | \( p_1 \) |
| \( x_2 \) | \( p_2 \) |
| … | … |
| Total | 1 |
c) Espérance et Variance
\( E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i) \)
\( V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \)
5. Lois de Probabilité Usuelles
Loi Uniforme
\( X \) suit une loi uniforme sur \( \{1,2,\dots,n\} \) si :
\( P(X=k) = \frac{1}{n} \quad \forall k \in \{1,\dots,n\} \)
Loi Binomiale
\( X \sim \mathcal{B}(n,p) \) modélise le nombre de succès en \( n \) épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité \( p \).
\( P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \)
6. Exercices d’Application
Exercice 1 : On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité d’obtenir une somme de 7.
Solution :
L’univers contient \( 6 \times 6 = 36 \) issues équiprobables.
Les couples donnant une somme de 7 :
\( (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \) → 6 cas favorables.
Donc : \( P(\text{somme}=7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \)
Exercice 2 : Une usine produit des pièces avec 5% de défaut. On prélève 10 pièces. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 2 pièces défectueuses ?
Solution :
Soit \( X \) le nombre de pièces défectueuses. \( X \sim \mathcal{B}(10, 0.05) \)
\( P(X=2) = \binom{10}{2} (0.05)^2 (0.95)^8 \)
\( = 45 \times 0.0025 \times (0.95)^8 \approx 45 \times 0.0025 \times 0.6634 \approx 0.0746 \)
La probabilité est environ \( \boxed{7.46\%} \)
Exercice 3 : Soit \( X \) une variable aléatoire telle que \( P(X=1)=0.4 \), \( P(X=2)=0.3 \), \( P(X=3)=0.3 \). Calculer \( E(X) \) et \( V(X) \).
Solution :
\( E(X) = 1 \times 0.4 + 2 \times 0.3 + 3 \times 0.3 = 0.4 + 0.6 + 0.9 = 1.9 \)
\( E(X^2) = 1^2 \times 0.4 + 2^2 \times 0.3 + 3^2 \times 0.3 = 0.4 + 1.2 + 2.7 = 4.3 \)
\( V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 = 4.3 – (1.9)^2 = 4.3 – 3.61 = 0.69 \)
Donc : \( E(X) = 1.9 \), \( V(X) = 0.69 \)
