Symétrique : Pour a, le symétrique est -a-2 car a★(-a-2) = a – a – 2 + 1 = -1
Commutativité : a★b = a+b+1 = b+a+1 = b★a
Solutions des questions :
Un groupe doit vérifier : associativité, existence d’un élément neutre, existence d’un symétrique pour chaque élément, et si commutatif, la commutativité.
L’élément neutre e doit satisfaire a★e = a pour tout a, donc a + e + 1 = a ⇒ e = -1.
Le symétrique a’ de a doit satisfaire a★a’ = -1 (élément neutre), donc a + a’ + 1 = -1 ⇒ a’ = -a – 2.
Oui, car (a★b)★c = a + b + c + 2 = a★(b★c), donc la loi est associative.
Parce que a★b = a + b + 1 = b + a + 1 = b★a, l’addition étant commutative dans ℤ.
Exercice 2 : Sous-groupes de ℤ
Montrer que les sous-groupes de (ℤ,+) sont exactement les nℤ pour n ∈ ℕ.
Pourquoi nℤ est-il un sous-groupe de (ℤ,+) ?
Quel est le rôle du plus petit entier positif dans un sous-groupe non trivial ?
Pourquoi utilise-t-on la division euclidienne dans cette démonstration ?
Quel est le sous-groupe trivial de (ℤ,+) ?
Pourquoi tous les sous-groupes de ℤ sont-ils cycliques ?
Solution principale :
Montrer que nℤ est un sous-groupe (stable, contient 0 et les inverses)
Réciproquement, soit H un sous-groupe de ℤ. Si H = {0}, c’est 0ℤ.
Sinon, soit n le plus petit entier strictement positif dans H.
Par division euclidienne, tout élément de H est multiple de n.
Solutions des questions :
nℤ est stable par addition (somme de multiples de n), contient 0 = n×0, et contient les opposés (-nk = n(-k)).
Le plus petit entier positif n dans H engendre tout le sous-groupe H, car tout autre élément est multiple de n.
La division euclidienne permet d’écrire tout élément h ∈ H sous la forme h = qn + r avec 0 ≤ r < n, et on montre que r = 0.
Le sous-groupe trivial est {0} = 0ℤ.
Parce que tout sous-groupe H de ℤ est de la forme nℤ = ⟨n⟩, donc engendré par un seul élément.
Exercice 3 : Morphisme de groupes
Soit f : (ℝ,+) → (ℂ*,×) définie par f(x) = eix. Montrer que f est un morphisme et déterminer son noyau.
Qu’est-ce qu’un morphisme de groupes ?
Pourquoi f(x) appartient-il bien à ℂ* ?
Comment interpréter géométriquement ce morphisme ?
Pourquoi le noyau est-il 2πℤ ?
Est-ce que f est injectif ? Surjectif ?
Solution principale :
Morphisme : f(x+y) = ei(x+y) = eixeiy = f(x)f(y)
Noyau : Ker(f) = {x ∈ ℝ | eix = 1} = 2πℤ
Solutions des questions :
Un morphisme de groupes est une application qui préserve la structure de groupe : f(a★b) = f(a)⋆f(b).
Pour tout x réel, |eix| = 1 ≠ 0, donc eix ∈ ℂ*.
Ce morphisme envoie la droite réelle sur le cercle unité dans le plan complexe.
eix = 1 ⇔ cos(x) = 1 et sin(x) = 0 ⇔ x = 2kπ, k ∈ ℤ.
f n’est pas injectif (périodique), mais son image est le cercle unité, donc pas surjectif sur ℂ* tout entier.
Exercice 4 : Anneau non commutatif
Montrer que l’ensemble M2(ℝ) des matrices 2×2 est un anneau non commutatif pour l’addition et la multiplication matricielles.
Quelles sont les propriétés qu’un anneau doit vérifier ?
Pourquoi (M2(ℝ), +) est-il un groupe commutatif ?
Quel est l’élément neutre pour la multiplication matricielle ?
Donnez un exemple concret de matrices qui ne commutent pas.
Pourquoi M2(ℝ) n’est-il pas un corps ?
Solution principale :
(M2(ℝ),+) est un groupe commutatif
Multiplication associative avec élément neutre I2
Distributivité vérifiée
Non commutativité : contre-exemple avec A = \(\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) et B = \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\)
Solutions des questions :
Un anneau doit être un groupe abélien pour l’addition, avoir une multiplication associative avec élément neutre, et vérifier la distributivité.
L’addition matricielle est commutative, associative, a pour élément neutre la matrice nulle, et chaque matrice a une opposée.
L’élément neutre est la matrice identité I2 = \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\).
A = \(\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), B = \(\begin{pmatrix}1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}\), alors AB = \(\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\) ≠ BA = \(\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}\).
Parce que toutes les matrices ne sont pas inversibles (ex: matrices non carrées ou de déterminant nul).
Exercice 5 : Corps fini
Montrer que ℤ/pℤ est un corps si et seulement si p est premier.
Qu’est-ce qu’un corps ?
Pourquoi ℤ/6ℤ n’est-il pas un corps ?
Comment utilise-t-on le théorème de Bézout pour montrer l’inversibilité ?
Quel est le nombre d’éléments dans ℤ/pℤ ?
Pourquoi p doit-il être premier pour que ℤ/pℤ soit un corps ?
Solution principale :
Si p premier : tout élément non nul est inversible (théorème de Bézout)
Si p non premier : ∃a,b ≠ 0 tels que ab = 0 mod p ⇒ pas de corps
Solutions des questions :
Un corps est un anneau commutatif où tout élément non nul est inversible.
Dans ℤ/6ℤ, on a 2̄×3̄ = 0̄ avec 2̄ ≠ 0̄ et 3̄ ≠ 0̄, donc ce n’est pas un corps.
Si p est premier et a ∉ pℤ, alors PGCD(a,p) = 1, donc ∃u,v tels que au + pv = 1, donc au ≡ 1 [p].
ℤ/pℤ contient exactement p éléments : {0̄,1̄,2̄,…,(p-1)̄}.
Si p n’est pas premier, p = ab avec 1 < a,b < p, alors āb̄ = 0̄ dans ℤ/pℤ, donc il y a des diviseurs de zéro.
Exercice 6 : Groupe symétrique
Montrer que (S3,∘) est un groupe non commutatif de cardinal 6 et donner sa table de loi.
Pourquoi |S3| = 6 ?
Quelles sont les différentes types de permutations dans S3 ?
Pourquoi S3 est-il non commutatif ?
Quel est l’ordre du groupe Sn en général ?
Pourquoi la composition des permutations est-elle associative ?
Solution principale :
Cardinal : 3! = 6 permutations
Non commutatif : (1 2)∘(1 3) ≠ (1 3)∘(1 2)
Table de loi :
∘
id
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
id
id
(12)
(13)
(23)
(123)
(132)
(12)
(12)
id
(132)
(123)
(23)
(13)
(13)
(13)
(123)
id
(132)
(12)
(23)
(23)
(23)
(132)
(123)
id
(13)
(12)
(123)
(123)
(13)
(23)
(12)
(132)
id
(132)
(132)
(23)
(12)
(13)
id
(123)
Solutions des questions :
S3 contient toutes les permutations de 3 éléments, soit 3! = 6 permutations.
Il y a : l’identité, 3 transpositions (2-cycles), et 2 cycles de longueur 3.
Parce que la composition des permutations n’est pas commutative en général, comme (1 2)∘(1 3) = (1 3 2) ≠ (1 2 3) = (1 3)∘(1 2).
|Sn| = n! pour tout n ≥ 1.
La composition des applications est toujours associative, et les permutations sont des applications bijectives.
Exercice 7 : Sous-anneau
L’ensemble ℤ[i] = {a + ib | a,b ∈ ℤ} est-il un sous-anneau de (ℂ,+,×) ?
Qu’est-ce qu’un sous-anneau ?
Pourquoi ℤ[i] est-il stable par addition ?
Pourquoi ℤ[i] est-il stable par multiplication ?
Contient-il l’élément neutre multiplicatif ?
Pourquoi ℤ[i] n’est-il pas un corps ?
Solution principale : Oui, c’est l’anneau des entiers de Gauss :
Stable par + et × : (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d) ∈ ℤ[i]
