Fonctions Exponentielles
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Définition et Propriétés
a) Fonction exponentielle népérienne
La fonction exponentielle, notée \( \exp \) ou \( x \mapsto e^x \), est l’unique fonction dérivable sur \( \mathbb{R} \) telle que :
- \( f’ = f \)
- \( f(0) = 1 \)
Où \( e \approx 2.71828 \) est la base du logarithme népérien.
b) Propriétés algébriques
- \( e^{a+b} = e^a \cdot e^b \)
- \( e^{-a} = \frac{1}{e^a} \)
- \( (e^a)^b = e^{ab} \)
- \( e^0 = 1 \), \( e^1 = e \)
- Pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( e^x > 0 \)
2. Dérivée et Étude Fonctionnelle
a) Dérivée
La fonction exponentielle est égale à sa propre dérivée :
b) Variations
- Strictement croissante sur \( \mathbb{R} \)
- Convexe car \( f”(x) = e^x > 0 \)
- \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0^+ \) → asymptote horizontale \( y = 0 \)
- \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \)
- Tangente en \( x = 0 \) : \( y = x + 1 \)
3. Fonctions \( a^x \)
Pour \( a > 0 \), on définit la fonction exponentielle de base \( a \) par :
Propriétés :
- Si \( a > 1 \) : fonction strictement croissante
- Si \( 0 < a < 1 \) : fonction strictement décroissante
- Dérivée : \( \frac{d}{dx}a^x = \ln(a) \cdot a^x \)
- \( a^x > 0 \) pour tout \( x \)
4. Croissances Comparées
L’exponentielle croît plus vite que toute puissance :
- \( \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \)
- \( \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 \)
- \( \lim_{x \to +\infty} e^{-x} x^n = 0 \)
Interprétation : L’exponentielle “l’emporte” sur les polynômes.
5. Exercices d’Application
Exercice 1 : Résoudre \( e^{2x} – 3e^x + 2 = 0 \) dans \( \mathbb{R} \).
Solution :
Posons \( X = e^x \) (avec \( X > 0 \)). L’équation devient :
\( X^2 – 3X + 2 = 0 \)
Discriminant : \( \Delta = 9 – 8 = 1 \)
Solutions : \( X = 1 \) ou \( X = 2 \)
Donc :
- \( e^x = 1 \Rightarrow x = 0 \)
- \( e^x = 2 \Rightarrow x = \ln(2) \)
Solutions : \( x = 0 \) et \( x = \ln(2) \)
Exercice 2 : Étudier les variations de \( f(x) = x e^{-x} \) sur \( \mathbb{R} \).
Solution :
\( f \) est dérivable sur \( \mathbb{R} \). Calculons \( f'(x) \) :
\( f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 – x) \)
Comme \( e^{-x} > 0 \) pour tout \( x \), le signe de \( f’ \) dépend de \( 1 – x \) :
- Si \( x < 1 \), \( f'(x) > 0 \) ⇒ \( f \) croissante
- Si \( x > 1 \), \( f'(x) < 0 \) ⇒ \( f \) décroissante
Conclusion : Maximum en \( x = 1 \), \( f(1) = e^{-1} \)
Exercice 3 : Calculer \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{e^x} \).
Solution :
C’est une forme indéterminée \( \frac{\infty}{\infty} \).
Par croissances comparées, l’exponentielle l’emporte sur toute puissance :
\( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x} = 0 \) et \( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0 \)
Donc :
\( \boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{e^x} = 0} \)
