1. Définitions et Types de Suites

a) Définition

Une suite numérique est une fonction \( u: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \), notée \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \).

b) Types principaux

• Suite arithmétique : \( u_{n+1} = u_n + r \)
• Suite géométrique : \( u_{n+1} = q \cdot u_n \)
• Suite récurrente : \( u_{n+1} = f(u_n) \)

Arithmétique (r=2)

Géométrique (q=0.5)

2. Sens de Variation

Méthodes d’étude

1. Calcul de \( u_{n+1} – u_n \) :
   • Si > 0 ⇒ suite croissante
   • Si < 0 ⇒ suite décroissante
2. Pour \( u_n > 0 \) : étudier \( \frac{u_{n+1}}{u_n} \)
3. Analyse de fonction si \( u_n = f(n) \)

Étudier la variation de \( u_n = \frac{n}{n+1} \) :

\( u_{n+1} – u_n = \frac{n+1}{n+2} – \frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2 – n(n+2)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0 \)

⇒ La suite est strictement croissante.

3. Limite et Convergence

a) Définitions

Une suite \( (u_n) \) converge vers \( L \) si :

b) Théorèmes clés

• Théorème de convergence monotone : Toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
• Théorème des gendarmes : Si \( v_n \leq u_n \leq w_n \) et \( \lim v_n = \lim w_n = L \), alors \( \lim u_n = L \).

Suite convergeant vers \( L = 2 \) avec intervalle \( ]L-\epsilon, L+\epsilon[ \)

4. Suites Récurrentes \( u_{n+1} = f(u_n) \)

Méthode d’analyse

1. Chercher les **points fixes** : résoudre \( L = f(L) \)
2. Étudier la stabilité : si \( |f'(L)| < 1 \), convergence locale
3. Utiliser la représentation graphique en “toile d’araignée”

Étapes :

1. Point fixe : \( L = \sqrt{L + 2} \Rightarrow L^2 = L + 2 \Rightarrow L^2 – L – 2 = 0 \)
   Solutions : \( L = 2 \) ou \( L = -1 \) → seule \( L = 2 \) est valide (car \( u_n \geq 0 \))
2. Dérivée : \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+2}} \Rightarrow f'(2) = \frac{1}{4} < 1 \) ⇒ convergence stable

Toile montrant la convergence vers 2

5. Exercices d’Application

Exercice 2 : Soit \( u_{n+1} = 0.5u_n + 3 \) avec \( u_0 = 1 \). Étudier sa convergence.

▶ Solution

Recherche du point fixe \( L \) :

\( L = 0.5L + 3 \Rightarrow 0.5L = 3 \Rightarrow L = 6 \)

La suite converge vers 6 car \( |0.5| < 1 \) (contraction).

On peut poser \( v_n = u_n – 6 \), alors :

\( v_{n+1} = 0.5 v_n \), donc \( v_n = (-5)(0.5)^n \to 0 \)

⇒ \( u_n \to 6 \)