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Théorème des Accroissements Finis (TAF) 2ème BAC Sciences Mathématiques B

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Théorème des Accroissements Finis (TAF) 2ème BAC Sciences Mathématiques B
Cours & Exercices Maths – SMB

Théorème des Accroissements Finis (TAF)
2ème BAC Sciences Mathématiques

1. Énoncé du TAF

Théorème : Soit \( f \) une fonction :

  • Continue sur \([a, b]\)
  • Dérivable sur \(]a, b[\)

Alors, il existe au moins un réel \( c \in ]a, b[ \) tel que :

\( \boxed{f'(c) = \frac{f(b) – f(a)}{b – a}} \)

Interprétation géométrique : Il existe un point où la tangente est parallèle à la corde AB.

Illustration TAF
La courbe admet au moins un point C où la tangente est parallèle à (AB)

2. Cas particuliers

a) Théorème de Rolle

Si \( f(a) = f(b) \), alors il existe \( c \in ]a, b[ \) tel que \( f'(c) = 0 \).

b) Inégalité des accroissements finis

Si \( |f'(x)| \leq M \) sur \(]a, b[\), alors :

\( |f(b) – f(a)| \leq M |b – a| \)

Exemple : Montrer que \( \sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2} \) pour \( x \geq -1 \).

Solution : Appliquer le TAF à \( f(t) = \sqrt{1+t} \) sur \([0,x]\). On a \( f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{1+t}} \leq \frac{1}{2} \), donc :

\( \sqrt{1+x} – 1 = f'(c) \cdot x \leq \frac{1}{2}x \Rightarrow \sqrt{1+x} \leq 1 + \frac{x}{2} \)

3. Démonstration

On utilise la fonction auxiliaire :

\( h(x) = f(x) – \left( \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) + f(a) \right) \)
  1. \( h \) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\)
  2. \( h(a) = f(a) – f(a) = 0 \), \( h(b) = f(b) – f(b) = 0 \)
  3. Par le théorème de Rolle, il existe \( c \in ]a,b[ \) tel que \( h'(c) = 0 \)
  4. \( h'(x) = f'(x) – \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \Rightarrow f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \)

4. Applications

a) Sens de variation

Si \( f’ > 0 \) sur \(]a, b[\), alors \( f \) est strictement croissante.

b) Unicité de solutions

Si \( f’ \) garde un signe constant, alors l’équation \( f(x) = k \) a au plus une solution.

Exercice : Montrer que \( x^3 + x – 1 = 0 \) a une unique solution dans \(\mathbb{R}\).

Solution :

  1. Soit \( f(x) = x^3 + x – 1 \). Alors \( f'(x) = 3x^2 + 1 > 0 \) ⇒ \( f \) strictement croissante.
  2. \( f(0) = -1 < 0 \), \( f(1) = 1 > 0 \) ⇒ TVI donne existence.
  3. Croissance stricte ⇒ unicité.

5. Exercices typiques

Exercice 1 : Soit \( f(x) = \ln(x) \) sur \([1, e]\). Trouver \( c \in ]1, e[ \) vérifiant le TAF.

\( f'(x) = \frac{1}{x} \), donc :

\( \frac{f(e) – f(1)}{e – 1} = \frac{1 – 0}{e – 1} = \frac{1}{e – 1} \)

On cherche \( c \) tel que \( f'(c) = \frac{1}{c} = \frac{1}{e – 1} \)

Donc \( \boxed{c = e – 1} \)

Exercice 2 : En utilisant le TAF, montrer que \( |\sin(b) – \sin(a)| \leq |b – a| \) pour tous réels \( a < b \).

Soit \( f(x) = \sin(x) \), continue et dérivable sur \([a,b]\).

Par TAF, il existe \( c \in ]a,b[ \) tel que :

\( \sin(b) – \sin(a) = \cos(c)(b – a) \)

Or \( |\cos(c)| \leq 1 \), donc :

\( |\sin(b) – \sin(a)| = |\cos(c)| \cdot |b – a| \leq |b – a| \)

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