Limites et Continuité
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Notion de Limite
a) Définition intuitive
On dit que f tend vers L quand x tend vers a si :
f(x) devient aussi proche que voulu de L
lorsque x est suffisamment proche de a
Notation : limx→a f(x) = L
f(x) devient aussi proche que voulu de L
lorsque x est suffisamment proche de a
Notation : limx→a f(x) = L
b) Limites infinies
limx→a f(x) = +∞
f(x) dépasse toute valeur
f(x) dépasse toute valeur
limx→+∞ f(x) = L
f admet une asymptote horizontale
f admet une asymptote horizontale
2. Calcul des Limites
a) Opérations sur les limites
| Opération | Forme indéterminée |
|---|---|
| ∞ – ∞ | FI |
| 0 × ∞ | FI |
| ∞/∞ | FI |
b) Limites usuelles
limx→0 sin(x)/x = 1
limx→∞ ex/x = +∞
3. Continuité des Fonctions
a) Définition
f est continue en a si :
1. f(a) existe
2. limx→a f(x) existe
3. limx→a f(x) = f(a)
1. f(a) existe
2. limx→a f(x) existe
3. limx→a f(x) = f(a)
b) Théorème des valeurs intermédiaires
Si f continue sur [a,b] et k ∈ [f(a),f(b)],
alors ∃c ∈ [a,b] tel que f(c) = k
alors ∃c ∈ [a,b] tel que f(c) = k
4. Exercices d’Application
Exercice 1 : Calculer limx→1 (x² – 1)/(x – 1)
Solution :
Simplification : (x² – 1)/(x – 1) = x + 1 pour x ≠ 1
Donc lim = 1 + 1 = 2
Exercice 2 : Étudier la continuité de f(x) = { x² si x ≤ 1; 2x – 1 si x > 1 }
Solution :
- En 1 : f(1) = 1² = 1
- limx→1⁻ f(x) = 1, limx→1⁺ f(x) = 2×1 – 1 = 1
- Les limites coïncident ⇒ f continue en 1
Exercice 3 : Montrer que l’équation x³ + 3x – 5 = 0 admet une solution dans [1,2]
Solution :
- f(x) = x³ + 3x – 5 est continue sur [1,2]
- f(1) = -1, f(2) = 9
- 0 ∈ [-1,9] ⇒ ∃c ∈ [1,2] tel que f(c) = 0
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