Espaces Vectoriels
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Définition et Exemples Fondamentaux
a) Axiomatique
Un espace vectoriel sur ℝ est un ensemble E muni de :
• Une addition interne (u,v) ↦ u + v
• Une multiplication externe (λ,u) ↦ λ·u
vérifiant 8 axiomes (associativité, commutativité, distributivité…)
• Une addition interne (u,v) ↦ u + v
• Une multiplication externe (λ,u) ↦ λ·u
vérifiant 8 axiomes (associativité, commutativité, distributivité…)
b) Exemples classiques
ℝn : n-uplets de réels
Mn,p(ℝ) : matrices
ℝ[X] : polynômes
F(ℝ,ℝ) : fonctions réelles
2. Sous-espaces Vectoriels (SEV)
a) Caractérisation
F ⊂ E est un SEV si :
1. 0E ∈ F
2. ∀u,v ∈ F, u + v ∈ F
3. ∀λ ∈ ℝ, ∀u ∈ F, λ·u ∈ F
1. 0E ∈ F
2. ∀u,v ∈ F, u + v ∈ F
3. ∀λ ∈ ℝ, ∀u ∈ F, λ·u ∈ F
b) Exemples fondamentaux
- Solutions d’un système linéaire homogène
- Ensemble des polynômes de degré ≤ n
- Droites/plans passant par l’origine dans ℝ3
3. Combinaisons Linéaires et Génération
a) Définition
Une combinaison linéaire de vecteurs v1,…,vp est tout vecteur de la forme :
v = λ1v1 + … + λpvp avec λi ∈ ℝ
b) Sous-espace engendré
Vect{v1,…,vp} = ensemble de toutes les combinaisons linéaires
4. Indépendance Linéaire
a) Définition
v1,…,vp sont linéairement indépendants si :
λ1v1 + … + λpvp = 0 ⇒ λ1 = … = λp = 0
λ1v1 + … + λpvp = 0 ⇒ λ1 = … = λp = 0
b) Méthodes pratiques
- Résolution de système
- Échelonnement de matrices
- Calcul de déterminant (pour n vecteurs dans ℝn)
5. Bases et Dimension
a) Base d’un espace vectoriel
Une base est une famille libre et génératrice. Exemples :
- Base canonique de ℝn : (e1,…,en)
- Base canonique de ℝn[X] : (1, X, …, Xn)
b) Dimension
dim(E) = nombre de vecteurs dans une base
• dim(ℝn) = n
• dim(ℝn[X]) = n+1
• dim(Mn,p(ℝ)) = n×p
• dim(ℝn) = n
• dim(ℝn[X]) = n+1
• dim(Mn,p(ℝ)) = n×p
6. Exercices d’Application
Exercice 1 : Montrer que F = {(x,y,z) ∈ ℝ3 | x + 2y – z = 0} est un SEV.
Solution :
- (0,0,0) ∈ F car 0 + 2×0 – 0 = 0
- Si u,v ∈ F alors u+v ∈ F (vérifier l’équation)
- Si u ∈ F et λ ∈ ℝ alors λu ∈ F
Exercice 2 : Les vecteurs (1,2,3), (4,5,6) et (7,8,9) sont-ils linéairement indépendants ?
Solution : Non, car :
1×(1,2,3) – 2×(4,5,6) + 1×(7,8,9) = (0,0,0)
C’est une combinaison linéaire non triviale nulle.
Exercice 3 : Trouver une base de ℝ3 contenant (1,1,0) et (0,1,1).
Solution : Compléter avec (0,0,1) par exemple :
Base : {(1,1,0), (0,1,1), (0,0,1)}
Vérifier que c’est une famille libre et génératrice.
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