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Fonctions Logarithmiques 2ème BAC Sciences Mathématiques A

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Fonctions Logarithmiques 2ème BAC Sciences Mathématiques A
Cours & Exercices Maths – SMA

Fonctions Logarithmiques
2ème BAC Sciences Mathématiques

1. Définition et Propriétés Fondamentales

a) Définition

La fonction logarithme népérien, notée \( \ln \), est définie pour tout \( x > 0 \) par :

\( \ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t} \, dt \)

b) Propriétés algébriques

  • \( \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) \) pour \( a, b > 0 \)
  • \( \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b) \)
  • \( \ln(a^n) = n\ln(a) \) pour \( a > 0 \), \( n \in \mathbb{R} \)
  • \( \ln(1) = 0 \) et \( \ln(e) = 1 \), où \( e \approx 2.71828 \) est la base du logarithme népérien

2. Étude de la Fonction \( x \mapsto \ln(x) \)

a) Dérivée et variations

La fonction \( \ln \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \) et sa dérivée est :

\( \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \)

Conséquences :

  • Strictement croissante sur \( \mathbb{R}^*_+ \)
  • Concave car \( \ln”(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \) pour tout \( x > 0 \)
  • Tangente en \( x=1 \) : \( y = x – 1 \)

b) Limites remarquables

  • \( \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \)
  • \( \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \)
  • \( \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x-1} = 1 \)
  • \( \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0 \)

3. Logarithme Décimal

Défini pour \( x > 0 \) par :

\( \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \quad \text{où} \quad \ln(10) \approx 2.302 \)

Propriétés :

  • \( \log_{10}(10) = 1 \), \( \log_{10}(1) = 0 \)
  • \( \log_{10}(a^n) = n \log_{10}(a) \)
  • Utilisé en sciences : échelle de pH, décibels, magnitude des séismes (échelle de Richter)

4. Croissances Comparées

Le logarithme croît très lentement comparé aux fonctions puissances ou exponentielles :

  • \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0 \) pour tout \( n > 0 \)
  • \( \lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0 \) pour tout \( n > 0 \)
  • \( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{e^x} = 0 \)
  • \( \lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0 \) pour tout \( n \)

Interprétation : L’exponentielle domine toute puissance, qui elle-même domine le logarithme.

5. Exercices d’Application

Exercice 1 : Résoudre \( \ln(x+2) + \ln(x-1) = \ln(4x) \) dans \( \mathbb{R} \).

Solution :

Condition d’existence : \( x+2 > 0 \), \( x-1 > 0 \), \( 4x > 0 \) ⇒ \( x > 1 \)

L’équation devient : \( \ln[(x+2)(x-1)] = \ln(4x) \)

Donc \( (x+2)(x-1) = 4x \)

\( x^2 + x – 2 = 4x \Rightarrow x^2 – 3x – 2 = 0 \)

Discriminant : \( \Delta = 9 + 8 = 17 \)

Solutions : \( x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \)

Seule \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3.56 \) est \( > 1 \)

Solution : \( x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \)

Exercice 2 : Étudier les variations de \( f(x) = x^2 \ln(x) \) sur \( \mathbb{R}^*_+ \).

Solution :

\( f \) est dérivable sur \( ]0, +\infty[ \)

\( f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x = x(2\ln(x) + 1) \)

Signe de \( f'(x) \) : comme \( x > 0 \), on étudie \( 2\ln(x) + 1 \)

\( 2\ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}} \)

– Si \( 0 < x < e^{-1/2} \), \( f'(x) < 0 \) ⇒ \( f \) décroissante

– Si \( x > e^{-1/2} \), \( f'(x) > 0 \) ⇒ \( f \) croissante

Conclusion : Minimum local en \( x = e^{-1/2} \)

Exercice 3 : Calculer \( \lim_{x \to 0^+} x \ln(x) \).

Solution :

C’est une forme indéterminée \( 0 \times (-\infty) \)

Posez \( X = \ln(x) \), donc \( x = e^X \), quand \( x \to 0^+ \), \( X \to -\infty \)

\( x \ln(x) = e^X \cdot X \)

On sait que \( \lim_{X \to -\infty} X e^X = 0 \) (croissance comparée)

Donc \( \boxed{\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0} \)

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