Limites et Continuité – 2ème Bac SM
1. Continuité d’une fonction en un point
Une fonction f est continue en x₀ si :
- f(x₀) existe
- limx→x₀ f(x) existe
- limx→x₀ f(x) = f(x₀)
Exemple : Étudier la continuité de f(x) = (x²-4)/(x-2) en x₀=2
Solution :
- f(2) n’est pas définie (forme 0/0)
- limx→2 (x²-4)/(x-2) = lim(x+2) = 4 existe
- Condition 1 non vérifiée ⇒ discontinue
2. Continuité sur un intervalle
Une fonction est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I.
Types de continuité :
- Continue à droite : limx→a⁺ f(x) = f(a)
- Continue à gauche : limx→a⁻ f(x) = f(a)
Fonction continue par morceaux sur [a,c]
3. Opérations sur les fonctions continues
Si f et g sont continues en x₀ (ou sur I), alors :
| Opération | Résultat |
|---|---|
| f + g, f – g | Continue |
| f × g | Continue |
| f/g | Continue (si g(x₀)≠0) |
4. Continuité de la composée
Théorème : Si f est continue en a et g est continue en f(a), alors g∘f est continue en a.
5. Limite de composée
Théorème : Si :
- limx→a f(x) = b
- g est continue en b
Alors limx→a g(f(x)) = g(b)
Exemple : Calculer limx→0 esin(x)
Solution :
- Posons f(x) = sin(x), limx→0 f(x) = 0
- g(u) = eu est continue en 0
- Donc lim = g(0) = e0 = 1
6. Fonction racine n-ième
La fonction f(x) = x1/n :
- Est continue sur [0,+∞[ si n est pair
- Est continue sur ℝ si n est impair
