Maîtriser les lois et théorèmes fondamentaux de l’algèbre booléenne
1. Introduction à l’Algèbre de Boole
L’algèbre de Boole, développée par George Boole, est une structure algébrique qui opère sur des variables qui ne peuvent prendre que deux valeurs : VRAI (1) ou FAUX (0).
Domaines d’application :
Conception de circuits logiques
Programmation informatique
Bases de données et requêtes
Théorie des ensembles
🧪 Exercice : Concepts de base (5 questions)
Question 1: Combien de valeurs possibles une variable booléenne peut-elle prendre ?
Question 2: Qui a développé l’algèbre de Boole ?
Question 3: Quel est le principal domaine d’application de l’algèbre de Boole ?
Question 4: En algèbre de Boole, que représente le symbole ‘+’ ?
Question 5: Quel est l’élément neutre de l’opération AND ?
✅ Corrections détaillées :
1. 2 valeurs : 0 (FAUX) et 1 (VRAI)
2. George Boole (1815-1864)
3. Conception de circuits logiques
4. L’opération OR (OU)
5. 1 est l’élément neutre de AND : A · 1 = A
2. Lois Fondamentales de l’Algèbre de Boole
Lois de l’Identité :
A + 0 = A
A · 1 = A
Lois de l’Annulation :
A + 1 = 1
A · 0 = 0
Lois de l’Idempotence :
A + A = A
A · A = A
Lois du Complément :
A + A’ = 1
A · A’ = 0
🧪 Exercice : Application des Lois (5 questions)
Question 1: Selon la loi de l’identité, que vaut A + 0 ?
Question 2: Selon la loi du complément, que vaut A · A’ ?
Question 3: Selon la loi d’idempotence, que vaut A + A ?
Question 4: Selon la loi d’annulation, que vaut A · 0 ?
Question 5: Quelle loi dit que A + A’ = 1 ?
✅ Corrections détaillées :
1. A + 0 = A (Loi de l’identité)
2. A · A’ = 0 (Loi du complément)
3. A + A = A (Loi d’idempotence)
4. A · 0 = 0 (Loi d’annulation)
5. A + A’ = 1 (Loi du complément)
3. Lois de De Morgan
Les lois de De Morgan permettent de transformer les expressions booléennes en déplaçant la négation.
Première loi :
(A + B)’ = A’ · B’
Deuxième loi :
(A · B)’ = A’ + B’
Mémo : “La négation d’une somme est le produit des négations”
🧪 Exercice : Lois de De Morgan (5 questions)
Question 1: Selon De Morgan, que vaut (A + B)’ ?
Question 2: Selon De Morgan, que vaut (A · B)’ ?
Question 3: Appliquez De Morgan à (X + Y)’
Question 4: Appliquez De Morgan à (P · Q)’
Question 5: Que dit la règle mnémotechnique pour De Morgan ?
✅ Corrections détaillées :
1. (A + B)’ = A’ · B’
2. (A · B)’ = A’ + B’
3. (X + Y)’ = X’ · Y’
4. (P · Q)’ = P’ + Q’
5. Les deux règles sont correctes :
– Négation d’une somme = produit des négations
– Négation d’un produit = somme des négations
4. Simplification d’Expressions Booléennes
La simplification permet de réduire la complexité des expressions booléennes en utilisant les lois fondamentales.
Exemple de simplification :
A + A·B = A·(1 + B) = A·1 = A
Autres règles utiles :
A + A’B = A + B
A(A + B) = A
AB + AB’ = A
🧪 Exercice : Simplification (5 questions)
Question 1: Simplifiez A + A·B
Question 2: Simplifiez A(A + B)
Question 3: Simplifiez AB + AB’
Question 4: Simplifiez A + A’B
Question 5: Simplifiez (A + B)(A + B’)
✅ Corrections détaillées :
1. A + A·B = A·(1 + B) = A·1 = A
2. A(A + B) = A·A + A·B = A + A·B = A(1 + B) = A
3. AB + AB’ = A(B + B’) = A·1 = A
4. A + A’B = (A + A’)(A + B) = 1·(A + B) = A + B
5. (A + B)(A + B’) = A·A + A·B’ + A·B + B·B’ = A + A(B + B’) + 0 = A + A·1 = A
5. Formes Canoniques
Les formes canoniques sont des représentations standardisées des fonctions booléennes.
Première Forme Canonique (SOP) :
Somme de produits
F = A’B + AB’ + AB
Exemple :
F(A,B) = Σ(1,2,3)
Deuxième Forme Canonique (POS) :
Produit de sommes
F = (A+B)(A’+B)(A+B’)
Exemple :
F(A,B) = Π(0)
🧪 Exercice : Formes Canoniques (5 questions)
Question 1: Que signifie SOP ?
Question 2: Quelle forme est A’B + AB’ ?
Question 3: Quelle forme est (A+B)(A’+B’) ?
Question 4: Que représente Σ(1,2,3) ?
Question 5: Quel avantage des formes canoniques ?
✅ Corrections détaillées :
1. SOP = Sum of Products (Somme de Produits)
2. A’B + AB’ est une forme SOP
3. (A+B)(A’+B’) est une forme POS
4. Σ(1,2,3) représente une forme SOP avec les minterms 1,2,3
5. Les formes canoniques permettent la standardisation
