Probabilités Avancées
2ème BAC Sciences Mathématiques
1. Notions Fondamentales
a) Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire si ses résultats ne peuvent pas être prédits avec certitude.
b) Univers et événements
- Univers (Ω) : Ensemble de tous les résultats possibles
- Événement : Sous-ensemble de Ω
- Événement élémentaire : Singleton de Ω
2. Probabilité Conditionnelle
Exemple concret :
Dans une classe :
- 60% des élèves étudient les maths
- 30% étudient les maths et la physique
- Quelle est la probabilité qu’un élève étudie la physique sachant qu’il étudie les maths?
3. Indépendance
\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)
- Calculer P(A) × P(B)
- Comparer avec P(A∩B)
- Si égalité ⇒ indépendants
4. Variables Aléatoires
a) Définition
Une variable aléatoire X est une fonction qui associe un réel à chaque issue de Ω.
b) Loi de probabilité
| xᵢ | P(X=xᵢ) |
|---|---|
| x₁ | p₁ |
| x₂ | p₂ |
| … | … |
c) Espérance et Variance
\( E(X) = \sum x_i P(X=x_i) \)
\( V(X) = E(X^2) – [E(X)]^2 \)
5. Lois de Probabilité Usuelles
Loi Uniforme
X prend n valeurs avec même probabilité :
\( P(X=k) = \frac{1}{n} \)
Loi Binomiale
X ∼ B(n,p) :
\( P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \)
6. Exercices d’Application
Exercice 1 : On lance deux dés équilibrés. Calculer la probabilité d’obtenir une somme de 7.
Nombre de cas favorables : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 cas
Nombre de cas possibles : 6×6 = 36
Probabilité = 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667
Exercice 2 : Une usine produit des pièces avec 5% de défaut. On prélève 10 pièces. Quelle est la probabilité d’avoir exactement 2 pièces défectueuses?
Loi binomiale B(n=10, p=0.05) :
\( P(X=2) = C_{10}^2 (0.05)^2 (0.95)^8 ≈ 0.0746 \)
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